Theorem olc 164

Description: Or introduction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
olc.1	⊢ A:∗
olc.2	⊢ B:∗

Assertion

Ref	Expression
olc	⊢ B⊧[A ∨ B]

Proof of Theorem olc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wim 137	. . . 4 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
2		olc.1	. . . . 5 ⊢ A:∗
3		wv 64	. . . . 5 ⊢ x:∗:∗
4	1, 2, 3	wov 72	. . . 4 ⊢ [A ⇒ x:∗]:∗
5		olc.2	. . . . . 6 ⊢ B:∗
6	1, 5, 3	wov 72	. . . . 5 ⊢ [B ⇒ x:∗]:∗
7	1, 6, 3	wov 72	. . . 4 ⊢ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]:∗
8	1, 4, 7	wov 72	. . 3 ⊢ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]:∗
9		wtru 43	. . . 4 ⊢ ⊤:∗
10	5, 6	simpl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (B, [B ⇒ x:∗])⊧B
11	5, 6	simpr 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (B, [B ⇒ x:∗])⊧[B ⇒ x:∗]
12	3, 10, 11	mpd 156	. . . . . . . 8 ⊢ (B, [B ⇒ x:∗])⊧x:∗
13	12	ex 158	. . . . . . 7 ⊢ B⊧[[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]
14	13, 4	adantr 55	. . . . . 6 ⊢ (B, [A ⇒ x:∗])⊧[[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]
15	14	ex 158	. . . . 5 ⊢ B⊧[[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]
16	15	eqtru 86	. . . 4 ⊢ B⊧[⊤ = [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]]
17	9, 16	eqcomi 79	. . 3 ⊢ B⊧[[[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = ⊤]
18	8, 17	leq 91	. 2 ⊢ B⊧[λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]
19		wor 140	. . . . 5 ⊢ ∨ :(∗ → (∗ → ∗))
20	19, 2, 5	wov 72	. . . 4 ⊢ [A ∨ B]:∗
21	2, 5	orval 147	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[[A ∨ B] = (∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])]
22	8	wl 66	. . . . 5 ⊢ λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]:(∗ → ∗)
23	22	alval 142	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]) = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
24	20, 21, 23	eqtri 95	. . 3 ⊢ ⊤⊧[[A ∨ B] = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
25	5, 24	a1i 28	. 2 ⊢ B⊧[[A ∨ B] = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
26	18, 25	mpbir 87	1 ⊢ B⊧[A ∨ B]

Syntax hints:  tv 1  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122   ∨ tor 124

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-or 132

This theorem is referenced by:  exmid  199