Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  exlimdv GIF version

Theorem exlimdv 167
 Description: Existential elimination. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
exlimdv.1 (R, A)⊧T
Assertion
Ref Expression
exlimdv (R, (λx:α A))⊧T
Distinct variable groups:   x,R   x,T   α,x

Proof of Theorem exlimdv
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exlimdv.1 . . . . 5 (R, A)⊧T
21ax-cb1 29 . . . 4 (R, A):∗
32wctr 34 . . 3 A:∗
43wl 66 . 2 λx:α A:(α → ∗)
5 wv 64 . . . 4 y:α:α
64, 5wc 50 . . 3 (λx:α Ay:α):∗
71ax-cb2 30 . . 3 T:∗
8 wim 137 . . . . 5 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
98, 6, 7wov 72 . . . 4 [(λx:α Ay:α) ⇒ T]:∗
101ex 158 . . . 4 R⊧[AT]
11 wv 64 . . . . 5 z:α:α
128, 11ax-17 105 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:αz:α) = ⇒ ]
133, 11ax-hbl1 103 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α λx:α Az:α) = λx:α A]
145, 11ax-17 105 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α y:αz:α) = y:α]
154, 5, 11, 13, 14hbc 110 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α (λx:α Ay:α)z:α) = (λx:α Ay:α)]
167, 11ax-17 105 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α Tz:α) = T]
178, 6, 11, 7, 12, 15, 16hbov 111 . . . 4 ⊤⊧[(λx:α [(λx:α Ay:α) ⇒ T]z:α) = [(λx:α Ay:α) ⇒ T]]
18 wv 64 . . . . . . . 8 x:α:α
1918, 5weqi 76 . . . . . . 7 [x:α = y:α]:∗
204, 18wc 50 . . . . . . . 8 (λx:α Ax:α):∗
213beta 92 . . . . . . . 8 ⊤⊧[(λx:α Ax:α) = A]
2220, 21eqcomi 79 . . . . . . 7 ⊤⊧[A = (λx:α Ax:α)]
2319, 22a1i 28 . . . . . 6 [x:α = y:α]⊧[A = (λx:α Ax:α)]
2419id 25 . . . . . . 7 [x:α = y:α]⊧[x:α = y:α]
254, 18, 24ceq2 90 . . . . . 6 [x:α = y:α]⊧[(λx:α Ax:α) = (λx:α Ay:α)]
263, 23, 25eqtri 95 . . . . 5 [x:α = y:α]⊧[A = (λx:α Ay:α)]
278, 3, 7, 26oveq1 99 . . . 4 [x:α = y:α]⊧[[AT] = [(λx:α Ay:α) ⇒ T]]
285, 9, 10, 17, 27insti 114 . . 3 R⊧[(λx:α Ay:α) ⇒ T]
296, 7, 28imp 157 . 2 (R, (λx:α Ay:α))⊧T
304, 29exlimdv2 166 1 (R, (λx:α A))⊧T
 Colors of variables: type var term Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11   ⇒ tim 121  ∃tex 123 This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113 This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator