Theorem exlimdv 167

Description: Existential elimination. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
exlimdv.1	⊢ (R, A)⊧T

Assertion

Ref	Expression
exlimdv	⊢ (R, (∃λx:α A))⊧T

Distinct variable groups:   x,R   x,T   α,x

Proof of Theorem exlimdv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exlimdv.1	. . . . 5 ⊢ (R, A)⊧T
2	1	ax-cb1 29	. . . 4 ⊢ (R, A):∗
3	2	wctr 34	. . 3 ⊢ A:∗
4	3	wl 66	. 2 ⊢ λx:α A:(α → ∗)
5		wv 64	. . . 4 ⊢ y:α:α
6	4, 5	wc 50	. . 3 ⊢ (λx:α Ay:α):∗
7	1	ax-cb2 30	. . 3 ⊢ T:∗
8		wim 137	. . . . 5 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
9	8, 6, 7	wov 72	. . . 4 ⊢ [(λx:α Ay:α) ⇒ T]:∗
10	1	ex 158	. . . 4 ⊢ R⊧[A ⇒ T]
11		wv 64	. . . . 5 ⊢ z:α:α
12	8, 11	ax-17 105	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ⇒ z:α) = ⇒ ]
13	3, 11	ax-hbl1 103	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α Az:α) = λx:α A]
14	5, 11	ax-17 105	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α y:αz:α) = y:α]
15	4, 5, 11, 13, 14	hbc 110	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (λx:α Ay:α)z:α) = (λx:α Ay:α)]
16	7, 11	ax-17 105	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α Tz:α) = T]
17	8, 6, 11, 7, 12, 15, 16	hbov 111	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α [(λx:α Ay:α) ⇒ T]z:α) = [(λx:α Ay:α) ⇒ T]]
18		wv 64	. . . . . . . 8 ⊢ x:α:α
19	18, 5	weqi 76	. . . . . . 7 ⊢ [x:α = y:α]:∗
20	4, 18	wc 50	. . . . . . . 8 ⊢ (λx:α Ax:α):∗
21	3	beta 92	. . . . . . . 8 ⊢ ⊤⊧[(λx:α Ax:α) = A]
22	20, 21	eqcomi 79	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[A = (λx:α Ax:α)]
23	19, 22	a1i 28	. . . . . 6 ⊢ [x:α = y:α]⊧[A = (λx:α Ax:α)]
24	19	id 25	. . . . . . 7 ⊢ [x:α = y:α]⊧[x:α = y:α]
25	4, 18, 24	ceq2 90	. . . . . 6 ⊢ [x:α = y:α]⊧[(λx:α Ax:α) = (λx:α Ay:α)]
26	3, 23, 25	eqtri 95	. . . . 5 ⊢ [x:α = y:α]⊧[A = (λx:α Ay:α)]
27	8, 3, 7, 26	oveq1 99	. . . 4 ⊢ [x:α = y:α]⊧[[A ⇒ T] = [(λx:α Ay:α) ⇒ T]]
28	5, 9, 10, 17, 27	insti 114	. . 3 ⊢ R⊧[(λx:α Ay:α) ⇒ T]
29	6, 7, 28	imp 157	. 2 ⊢ (R, (λx:α Ay:α))⊧T
30	4, 29	exlimdv2 166	1 ⊢ (R, (∃λx:α A))⊧T

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11   ⇒ tim 121  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131

This theorem is referenced by: (None)