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Theorem exval 143
Description: Value of the 'there exists' predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
alval.1 F:(α → ∗)
Assertion
Ref Expression
exval ⊤⊧[(F) = (λq:∗ [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
Distinct variable groups:   x,q,α   q,F,x

Proof of Theorem exval
Dummy variable p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wex 139 . . 3 :((α → ∗) → ∗)
2 alval.1 . . 3 F:(α → ∗)
31, 2wc 50 . 2 (F):∗
4 df-ex 131 . . 3 ⊤⊧[ = λp:(α → ∗) (λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
51, 2, 4ceq1 89 . 2 ⊤⊧[(F) = (λp:(α → ∗) (λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])F)]
6 wal 134 . . . 4 :((∗ → ∗) → ∗)
7 wim 137 . . . . . 6 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
8 wal 134 . . . . . . 7 :((α → ∗) → ∗)
9 wv 64 . . . . . . . . . 10 p:(α → ∗):(α → ∗)
10 wv 64 . . . . . . . . . 10 x:α:α
119, 10wc 50 . . . . . . . . 9 (p:(α → ∗)x:α):∗
12 wv 64 . . . . . . . . 9 q:∗:∗
137, 11, 12wov 72 . . . . . . . 8 [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]:∗
1413wl 66 . . . . . . 7 λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]:(α → ∗)
158, 14wc 50 . . . . . 6 (λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]):∗
167, 15, 12wov 72 . . . . 5 [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]:∗
1716wl 66 . . . 4 λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]:(∗ → ∗)
186, 17wc 50 . . 3 (λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]):∗
199, 2weqi 76 . . . . . . . . . . 11 [p:(α → ∗) = F]:∗
2019id 25 . . . . . . . . . 10 [p:(α → ∗) = F]⊧[p:(α → ∗) = F]
219, 10, 20ceq1 89 . . . . . . . . 9 [p:(α → ∗) = F]⊧[(p:(α → ∗)x:α) = (Fx:α)]
227, 11, 12, 21oveq1 99 . . . . . . . 8 [p:(α → ∗) = F]⊧[[(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗] = [(Fx:α) ⇒ q:∗]]
2313, 22leq 91 . . . . . . 7 [p:(α → ∗) = F]⊧[λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗] = λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]]
248, 14, 23ceq2 90 . . . . . 6 [p:(α → ∗) = F]⊧[(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) = (λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗])]
257, 15, 12, 24oveq1 99 . . . . 5 [p:(α → ∗) = F]⊧[[(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗] = [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]]
2616, 25leq 91 . . . 4 [p:(α → ∗) = F]⊧[λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗] = λq:∗ [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]]
276, 17, 26ceq2 90 . . 3 [p:(α → ∗) = F]⊧[(λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]) = (λq:∗ [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
2818, 2, 27cl 116 . 2 ⊤⊧[(λp:(α → ∗) (λq:∗ [(λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])F) = (λq:∗ [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
293, 5, 28eqtri 95 1 ⊤⊧[(F) = (λq:∗ [(λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
Colors of variables: type var term
Syntax hints:  tv 1  ht 2  hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  kt 8  [kbr 9  wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  tim 121  tal 122  tex 123
This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113
This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131
This theorem is referenced by:  exlimdv2  166  ax4e  168  exlimd  183
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