Theorem exval 143

Description: Value of the 'there exists' predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
alval.1	⊢ F:(α → ∗)

Assertion

Ref	Expression
exval	⊢ ⊤⊧[(∃F) = (∀λq:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]

Distinct variable groups:   x,q,α   q,F,x

Proof of Theorem exval

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wex 139	. . 3 ⊢ ∃:((α → ∗) → ∗)
2		alval.1	. . 3 ⊢ F:(α → ∗)
3	1, 2	wc 50	. 2 ⊢ (∃F):∗
4		df-ex 131	. . 3 ⊢ ⊤⊧[∃ = λp:(α → ∗) (∀λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
5	1, 2, 4	ceq1 89	. 2 ⊢ ⊤⊧[(∃F) = (λp:(α → ∗) (∀λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])F)]
6		wal 134	. . . 4 ⊢ ∀:((∗ → ∗) → ∗)
7		wim 137	. . . . . 6 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
8		wal 134	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
9		wv 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ p:(α → ∗):(α → ∗)
10		wv 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ x:α:α
11	9, 10	wc 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (p:(α → ∗)x:α):∗
12		wv 64	. . . . . . . . 9 ⊢ q:∗:∗
13	7, 11, 12	wov 72	. . . . . . . 8 ⊢ [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]:∗
14	13	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]:(α → ∗)
15	8, 14	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]):∗
16	7, 15, 12	wov 72	. . . . 5 ⊢ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]:∗
17	16	wl 66	. . . 4 ⊢ λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]:(∗ → ∗)
18	6, 17	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]):∗
19	9, 2	weqi 76	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [p:(α → ∗) = F]:∗
20	19	id 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[p:(α → ∗) = F]
21	9, 10, 20	ceq1 89	. . . . . . . . 9 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[(p:(α → ∗)x:α) = (Fx:α)]
22	7, 11, 12, 21	oveq1 99	. . . . . . . 8 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[[(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗] = [(Fx:α) ⇒ q:∗]]
23	13, 22	leq 91	. . . . . . 7 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗] = λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]]
24	8, 14, 23	ceq2 90	. . . . . 6 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) = (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗])]
25	7, 15, 12, 24	oveq1 99	. . . . 5 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[[(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗] = [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]]
26	16, 25	leq 91	. . . 4 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗] = λq:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]]
27	6, 17, 26	ceq2 90	. . 3 ⊢ [p:(α → ∗) = F]⊧[(∀λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗]) = (∀λq:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
28	18, 2, 27	cl 116	. 2 ⊢ ⊤⊧[(λp:(α → ∗) (∀λq:∗ [(∀λx:α [(p:(α → ∗)x:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])F) = (∀λq:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]
29	3, 5, 28	eqtri 95	1 ⊢ ⊤⊧[(∃F) = (∀λq:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ q:∗]) ⇒ q:∗])]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131

This theorem is referenced by:  exlimdv2  166  ax4e  168  exlimd  183