Theorem 2ordpr 4353

Description: Version of 2on 6204 with the definition of 2o expanded and expressed in terms of Ord. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2ordpr	|- Ord { (/) , { (/) } }

Proof of Theorem 2ordpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4227	. . 3 |- Ord (/)
2		ordsucim 4330	. . 3 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
3		ordsucim 4330	. . 3 |- ( Ord suc (/) -> Ord suc suc (/) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- Ord suc suc (/)
5		df-suc 4207	. . . 4 |- suc { (/) } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
6		suc0 4247	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
7		suceq 4238	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> suc suc (/) = suc { (/) } )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- suc suc (/) = suc { (/) }
9		df-pr 3457	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
10	5, 8, 9	3eqtr4i 2119	. . 3 |- suc suc (/) = { (/) , { (/) } }
11		ordeq 4208	. . 3 |- ( suc suc (/) = { (/) , { (/) } } -> ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } ) )
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } )
13	4, 12	mpbi 144	1 |- Ord { (/) , { (/) } }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1290   u. cun 2998   (/)c0 3287   {csn 3450   {cpr 3451   Ord word 4198   suc csuc 4201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-uni 3660  df-tr 3943  df-iord 4202  df-suc 4207

This theorem is referenced by:  ontr2exmid  4354  ordtri2or2exmidlem  4355  onsucelsucexmidlem  4358