Theorem 2ordpr 4439

Description: Version of 2on 6322 with the definition of 2o expanded and expressed in terms of Ord. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2ordpr	|- Ord { (/) , { (/) } }

Proof of Theorem 2ordpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4313	. . 3 |- Ord (/)
2		ordsucim 4416	. . 3 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
3		ordsucim 4416	. . 3 |- ( Ord suc (/) -> Ord suc suc (/) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- Ord suc suc (/)
5		df-suc 4293	. . . 4 |- suc { (/) } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
6		suc0 4333	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
7		suceq 4324	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> suc suc (/) = suc { (/) } )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- suc suc (/) = suc { (/) }
9		df-pr 3534	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
10	5, 8, 9	3eqtr4i 2170	. . 3 |- suc suc (/) = { (/) , { (/) } }
11		ordeq 4294	. . 3 |- ( suc suc (/) = { (/) , { (/) } } -> ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } )
13	4, 12	mpbi 144	1 |- Ord { (/) , { (/) } }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   u. cun 3069   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   Ord word 4284   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  ontr2exmid  4440  ordtri2or2exmidlem  4441  onsucelsucexmidlem  4444