Theorem 2ordpr 4447

Description: Version of 2on 6330 with the definition of 2o expanded and expressed in terms of Ord. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2ordpr	|- Ord { (/) , { (/) } }

Proof of Theorem 2ordpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4321	. . 3 |- Ord (/)
2		ordsucim 4424	. . 3 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
3		ordsucim 4424	. . 3 |- ( Ord suc (/) -> Ord suc suc (/) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- Ord suc suc (/)
5		df-suc 4301	. . . 4 |- suc { (/) } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
6		suc0 4341	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
7		suceq 4332	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> suc suc (/) = suc { (/) } )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- suc suc (/) = suc { (/) }
9		df-pr 3539	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
10	5, 8, 9	3eqtr4i 2171	. . 3 |- suc suc (/) = { (/) , { (/) } }
11		ordeq 4302	. . 3 |- ( suc suc (/) = { (/) , { (/) } } -> ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } )
13	4, 12	mpbi 144	1 |- Ord { (/) , { (/) } }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   {cpr 3533   Ord word 4292   suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  ontr2exmid  4448  ordtri2or2exmidlem  4449  onsucelsucexmidlem  4452