Theorem 2ordpr 4556

Description: Version of 2on 6478 with the definition of 2o expanded and expressed in terms of Ord. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2ordpr	|- Ord { (/) , { (/) } }

Proof of Theorem 2ordpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4422	. . 3 |- Ord (/)
2		ordsucim 4532	. . 3 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
3		ordsucim 4532	. . 3 |- ( Ord suc (/) -> Ord suc suc (/) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- Ord suc suc (/)
5		df-suc 4402	. . . 4 |- suc { (/) } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
6		suc0 4442	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
7		suceq 4433	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> suc suc (/) = suc { (/) } )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- suc suc (/) = suc { (/) }
9		df-pr 3625	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } = ( { (/) } u. { { (/) } } )
10	5, 8, 9	3eqtr4i 2224	. . 3 |- suc suc (/) = { (/) , { (/) } }
11		ordeq 4403	. . 3 |- ( suc suc (/) = { (/) , { (/) } } -> ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( Ord suc suc (/) <-> Ord { (/) , { (/) } } )
13	4, 12	mpbi 145	1 |- Ord { (/) , { (/) } }

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   Ord word 4393   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  ontr2exmid  4557  ordtri2or2exmidlem  4558  onsucelsucexmidlem  4561