Theorem ordtri2orexmid 4482

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2orexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2orexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2orexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2orexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )
2		ordtriexmidlem 4478	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
3		suc0 4371	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4352	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4475	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2231	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		eleq1 2220	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
8		sseq2 3152	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
10		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
11		sseq1 3151	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2830	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 433	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
16		elsni 3578	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
17		ordtriexmidlem2 4479	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
18	16, 17	syl 14	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
19		snssg 3692	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
21		0ex 4091	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
22	21	snid 3591	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
23		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
24	23	elrab3 2869	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
26	25	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
27	20, 26	sylbir 134	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } -> ph )
28	18, 27	orim12i 749	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
29	15, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
30		orcom 718	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
31	29, 30	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   Oncon0 4323   suc csuc 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331

This theorem is referenced by: (None)