Theorem ordtri2orexmid 4559

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2orexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2orexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2orexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2orexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )
2		ordtriexmidlem 4555	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
3		suc0 4446	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4427	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4552	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2270	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
8		sseq2 3207	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
10		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
11		sseq1 3206	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2882	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 436	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
16		elsni 3640	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
17		ordtriexmidlem2 4556	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
18	16, 17	syl 14	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
19		snssg 3756	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
21		0ex 4160	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
22	21	snid 3653	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
23		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
24	23	elrab3 2921	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
26	25	biimpi 120	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
27	20, 26	sylbir 135	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } -> ph )
28	18, 27	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
29	15, 28	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
30		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
31	29, 30	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   Oncon0 4398   suc csuc 4400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406

This theorem is referenced by: (None)