Theorem ordtri2orexmid 4354

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2orexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2orexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2orexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2orexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x )
2		ordtriexmidlem 4351	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
3		suc0 4249	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4230	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4348	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2162	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		eleq1 2151	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
8		sseq2 3051	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 743	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
10		eleq2 2152	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
11		sseq1 3050	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 743	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ y C_ { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2738	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 428	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
16		elsni 3470	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
17		ordtriexmidlem2 4352	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
18	16, 17	syl 14	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
19		snssg 3581	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) )
20	4, 19	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } )
21		0ex 3974	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
22	21	snid 3481	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
23		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
24	23	elrab3 2775	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
25	22, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
26	25	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
27	20, 26	sylbir 134	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } -> ph )
28	18, 27	orim12i 712	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
29	15, 28	ax-mp 7	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
30		orcom 683	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
31	29, 30	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ wo 665   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   {crab 2364   C_ wss 3002   (/)c0 3289   {csn 3452   Oncon0 4201   suc csuc 4203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-uni 3662  df-tr 3945  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209

This theorem is referenced by: (None)