ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2orexmid Unicode version

Theorem ordtri2orexmid 4438
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordtri2orexmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )
Assertion
Ref Expression
ordtri2orexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2orexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2orexmid.1 . . . 4  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )
2 ordtriexmidlem 4435 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
3 suc0 4333 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
4 0elon 4314 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  On
54onsuci 4432 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  On
63, 5eqeltrri 2213 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  On
7 eleq1 2202 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y ) )
8 sseq2 3121 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  x 
<->  y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
97, 8orbi12d 782 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  C_  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  y  \/  y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
10 eleq2 2203 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) } ) )
11 sseq1 3120 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } 
<->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1210, 11orbi12d 782 . . . . . 6  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  y  \/  y  C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  \/  { (/) } 
C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } ) ) )
139, 12rspc2va 2803 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x ) )  -> 
( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
142, 6, 13mpanl12 432 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
151, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  \/  { (/) } 
C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } )
16 elsni 3545 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
17 ordtriexmidlem2 4436 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
1816, 17syl 14 . . . 4  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  -.  ph )
19 snssg 3656 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
204, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 0ex 4055 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2221snid 3556 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
23 biidd 171 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
2423elrab3 2841 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  ( (/) 
e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<-> 
ph ) )
2522, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  ph )
2625biimpi 119 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ph )
2720, 26sylbir 134 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
2818, 27orim12i 748 . . 3  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
2915, 28ax-mp 5 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
30 orcom 717 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
3129, 30mpbi 144 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   Oncon0 4285   suc csuc 4287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator