Theorem ontr2exmid 4557

Description: An ordinal transitivity law which implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ontr2exmid.1	|- A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z )

Assertion

Ref	Expression
ontr2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z

Proof of Theorem ontr2exmid

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3264	. . . . 5 |- { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
2		p0ex 4217	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
3	2	prid2 3725	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
4		2ordpr 4556	. . . . . . 7 |- Ord { (/) , { (/) } }
5		pp0ex 4218	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } e. _V
6	5	elon 4405	. . . . . . 7 |- ( { (/) , { (/) } } e. On <-> Ord { (/) , { (/) } } )
7	4, 6	mpbir 146	. . . . . 6 |- { (/) , { (/) } } e. On
8		ordtriexmidlem 4551	. . . . . . . 8 |- { w e. { (/) } | ph } e. On
9		ontr2exmid.1	. . . . . . . 8 |- A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z )
10		sseq1 3202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x C_ y <-> { w e. { (/) } | ph } C_ y ) )
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x C_ y /\ y e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) ) )
12		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. z <-> { w e. { (/) } | ph } e. z ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
14	13	ralbidv 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
15	14	albidv 1835	. . . . . . . . 9 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
16	15	rspcv 2860	. . . . . . . 8 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. On -> ( A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
17	8, 9, 16	mp2 16	. . . . . . 7 |- A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z )
18		sseq2 3203	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( { w e. { (/) } | ph } C_ y <-> { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
19		eleq1 2256	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( y e. z <-> { (/) } e. z ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { (/) } -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( y = { (/) } -> ( ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
22	21	ralbidv 2494	. . . . . . . 8 |- ( y = { (/) } -> ( A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
23	2, 22	spcv 2854	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) -> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) )
24	17, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z )
25		eleq2 2257	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. z <-> { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) )
26	25	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
27		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. z <-> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) )
28	26, 27	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
29	28	rspcv 2860	. . . . . 6 |- ( { (/) , { (/) } } e. On -> ( A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
30	7, 24, 29	mp2 16	. . . . 5 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } )
31	1, 3, 30	mp2an 426	. . . 4 |- { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } }
32		elpri 3641	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } -> ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } )
34		ordtriexmidlem2 4552	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
35		0ex 4156	. . . . 5 |- (/) e. _V
36		biidd 172	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ph <-> ph ) )
37	35, 36	rabsnt 3693	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
38	34, 37	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
39	33, 38	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
40		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
41	39, 40	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   Ord word 4393   Oncon0 4394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402

This theorem is referenced by: (None)