Theorem ontr2exmid 4561

Description: An ordinal transitivity law which implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ontr2exmid.1	|- A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z )

Assertion

Ref	Expression
ontr2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y, z

Proof of Theorem ontr2exmid

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3268	. . . . 5 |- { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
2		p0ex 4221	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
3	2	prid2 3729	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
4		2ordpr 4560	. . . . . . 7 |- Ord { (/) , { (/) } }
5		pp0ex 4222	. . . . . . . 8 |- { (/) , { (/) } } e. _V
6	5	elon 4409	. . . . . . 7 |- ( { (/) , { (/) } } e. On <-> Ord { (/) , { (/) } } )
7	4, 6	mpbir 146	. . . . . 6 |- { (/) , { (/) } } e. On
8		ordtriexmidlem 4555	. . . . . . . 8 |- { w e. { (/) } | ph } e. On
9		ontr2exmid.1	. . . . . . . 8 |- A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z )
10		sseq1 3206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x C_ y <-> { w e. { (/) } | ph } C_ y ) )
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x C_ y /\ y e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) ) )
12		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. z <-> { w e. { (/) } | ph } e. z ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
14	13	ralbidv 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
15	14	albidv 1838	. . . . . . . . 9 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
16	15	rspcv 2864	. . . . . . . 8 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. On -> ( A. x e. On A. y A. z e. On ( ( x C_ y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
17	8, 9, 16	mp2 16	. . . . . . 7 |- A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z )
18		sseq2 3207	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( { w e. { (/) } | ph } C_ y <-> { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
19		eleq1 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( y e. z <-> { (/) } e. z ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { (/) } -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( y = { (/) } -> ( ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
22	21	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 |- ( y = { (/) } -> ( A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) ) )
23	2, 22	spcv 2858	. . . . . . 7 |- ( A. y A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ y /\ y e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) -> A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) )
24	17, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z )
25		eleq2 2260	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. z <-> { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) )
26	25	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
27		eleq2 2260	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. z <-> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) )
28	26, 27	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = { (/) , { (/) } } -> ( ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
29	28	rspcv 2864	. . . . . 6 |- ( { (/) , { (/) } } e. On -> ( A. z e. On ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. z ) -> { w e. { (/) } | ph } e. z ) -> ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } ) ) )
30	7, 24, 29	mp2 16	. . . . 5 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } )
31	1, 3, 30	mp2an 426	. . . 4 |- { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } }
32		elpri 3645	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) , { (/) } } -> ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } )
34		ordtriexmidlem2 4556	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
35		0ex 4160	. . . . 5 |- (/) e. _V
36		biidd 172	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ph <-> ph ) )
37	35, 36	rabsnt 3697	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
38	34, 37	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } = (/) \/ { w e. { (/) } | ph } = { (/) } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
39	33, 38	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
40		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
41	39, 40	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623   Ord word 4397   Oncon0 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406

This theorem is referenced by: (None)