ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontr2exmid Unicode version

Theorem ontr2exmid 4435
Description: An ordinal transitivity law which implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
ontr2exmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
Assertion
Ref Expression
ontr2exmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z

Proof of Theorem ontr2exmid
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3177 . . . . 5  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
2 p0ex 4107 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
32prid2 3625 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
4 2ordpr 4434 . . . . . . 7  |-  Ord  { (/)
,  { (/) } }
5 pp0ex 4108 . . . . . . . 8  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
65elon 4291 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  <->  Ord  { (/) ,  { (/)
} } )
74, 6mpbir 145 . . . . . 6  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  On
8 ordtriexmidlem 4430 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
9 ontr2exmid.1 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
10 sseq1 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  C_  y 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y ) )
1110anbi1d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z ) ) )
12 eleq1 2200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  z  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  z ) )
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <-> 
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1413ralbidv 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1514albidv 1796 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. y A. z  e.  On  ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1615rspcv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )  ->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
178, 9, 16mp2 16 . . . . . . 7  |-  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
18 sseq2 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
19 eleq1 2200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  e.  z  <->  { (/) }  e.  z ) )
2018, 19anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z ) ) )
2120imbi1d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
2221ralbidv 2435 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
232, 22spcv 2774 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
)
2417, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
25 eleq2 2201 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { (/) }  e.  z  <->  { (/) }  e.  { (/)
,  { (/) } }
) )
2625anbi2d 459 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) ) )
27 eleq2 2201 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) )
2826, 27imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
2928rspcv 2780 . . . . . 6  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  ->  ( A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
307, 24, 29mp2 16 . . . . 5  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) }  /\  { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } )
311, 3, 30mp2an 422 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
32 elpri 3545 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) ,  { (/) } }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } ) )
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
\/  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  { (/) } )
34 ordtriexmidlem2 4431 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
35 0ex 4050 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
36 biidd 171 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3735, 36rabsnt 3593 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
3834, 37orim12i 748 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
3933, 38ax-mp 5 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
40 orcom 717 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
4139, 40mpbi 144 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418    C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   {cpr 3523   Ord word 4279   Oncon0 4280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator