ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontr2exmid Unicode version

Theorem ontr2exmid 4331
Description: An ordinal transitivity law which implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
ontr2exmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
Assertion
Ref Expression
ontr2exmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z

Proof of Theorem ontr2exmid
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3104 . . . . 5  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
2 p0ex 4014 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
32prid2 3544 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
4 2ordpr 4330 . . . . . . 7  |-  Ord  { (/)
,  { (/) } }
5 pp0ex 4015 . . . . . . . 8  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
65elon 4192 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  <->  Ord  { (/) ,  { (/)
} } )
74, 6mpbir 144 . . . . . 6  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  On
8 ordtriexmidlem 4326 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
9 ontr2exmid.1 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
10 sseq1 3045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  C_  y 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y ) )
1110anbi1d 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z ) ) )
12 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  z  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  z ) )
1311, 12imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <-> 
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1413ralbidv 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1514albidv 1752 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. y A. z  e.  On  ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1615rspcv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )  ->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
178, 9, 16mp2 16 . . . . . . 7  |-  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
18 sseq2 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
19 eleq1 2150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  e.  z  <->  { (/) }  e.  z ) )
2018, 19anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z ) ) )
2120imbi1d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
2221ralbidv 2380 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
232, 22spcv 2712 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
)
2417, 23ax-mp 7 . . . . . 6  |-  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
25 eleq2 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { (/) }  e.  z  <->  { (/) }  e.  { (/)
,  { (/) } }
) )
2625anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) ) )
27 eleq2 2151 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) )
2826, 27imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
2928rspcv 2718 . . . . . 6  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  ->  ( A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
307, 24, 29mp2 16 . . . . 5  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) }  /\  { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } )
311, 3, 30mp2an 417 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
32 elpri 3464 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) ,  { (/) } }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } ) )
3331, 32ax-mp 7 . . 3  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
\/  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  { (/) } )
34 ordtriexmidlem2 4327 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
35 0ex 3958 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
36 biidd 170 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3735, 36rabsnt 3512 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
3834, 37orim12i 711 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
3933, 38ax-mp 7 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
40 orcom 682 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
4139, 40mpbi 143 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Ord word 4180   Oncon0 4181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator