Theorem addcan2i 8058

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-2003.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	|- A e. CC
addcani.2	|- B e. CC
addcani.3	|- C e. CC

Assertion

Ref	Expression
addcan2i	|- ( ( A + C ) = ( B + C ) <-> A = B )

Proof of Theorem addcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 |- A e. CC
2		addcani.2	. 2 |- B e. CC
3		addcani.3	. 2 |- C e. CC
4		addcan2 8056	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + C ) = ( B + C ) <-> A = B ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1319	1 |- ( ( A + C ) = ( B + C ) <-> A = B )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5824   CCcc 7730   + caddc 7735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827

This theorem is referenced by: (None)