Theorem addcan2i 8262

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-2003.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
addcani.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcani.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcan2i	⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem addcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		addcani.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcani.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		addcan2 8260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1350	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  ℂcc 7930   + caddc 7935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-iota 5237  df-fv 5284  df-ov 5954

This theorem is referenced by: (None)