Theorem addcani 7944

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	|- A e. CC
addcani.2	|- B e. CC
addcani.3	|- C e. CC

Assertion

Ref	Expression
addcani	|- ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C )

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 |- A e. CC
2		addcani.2	. 2 |- B e. CC
3		addcani.3	. 2 |- C e. CC
4		addcan 7942	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1315	1 |- ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  negdii  8046  fsumrelem  11240