Theorem addcanad 7666

Description: Cancelling a term on the left-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcand 7664. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	|- ( ph -> A e. CC )
addcand.2	|- ( ph -> B e. CC )
addcand.3	|- ( ph -> C e. CC )
addcanad.4	|- ( ph -> ( A + B ) = ( A + C ) )

Assertion

Ref	Expression
addcanad	|- ( ph -> B = C )

Proof of Theorem addcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcanad.4	. 2 |- ( ph -> ( A + B ) = ( A + C ) )
2		addcand.1	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		addcand.2	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		addcand.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
5	2, 3, 4	addcand 7664	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C ) )
6	1, 5	mpbid 145	1 |- ( ph -> B = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7346   + caddc 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655

This theorem is referenced by:  divalglemqt  11193