Theorem divalglemqt 11971

Description: Lemma for divalg 11976. The Q = T case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
divalglemqt.r	|- ( ph -> R e. ZZ )
divalglemqt.s	|- ( ph -> S e. ZZ )
divalglemqt.q	|- ( ph -> Q e. ZZ )
divalglemqt.t	|- ( ph -> T e. ZZ )
divalglemqt.qt	|- ( ph -> Q = T )
divalglemqt.eq	|- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	|- ( ph -> R = S )

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 |- ( ph -> Q = T )
2	1	oveq1d 5919	. . 3 |- ( ph -> ( Q x. D ) = ( T x. D ) )
3		divalglemqt.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ZZ )
4		divalglemqt.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 9422	. . . 4 |- ( ph -> ( Q x. D ) e. ZZ )
6	5	zcnd 9417	. . 3 |- ( ph -> ( Q x. D ) e. CC )
7	2, 6	eqeltrrd 2267	. 2 |- ( ph -> ( T x. D ) e. CC )
8		divalglemqt.r	. . 3 |- ( ph -> R e. ZZ )
9	8	zcnd 9417	. 2 |- ( ph -> R e. CC )
10		divalglemqt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. ZZ )
11	10	zcnd 9417	. 2 |- ( ph -> S e. CC )
12	2	oveq1d 5919	. . 3 |- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + R ) )
13		divalglemqt.eq	. . 3 |- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )
14	12, 13	eqtr3d 2224	. 2 |- ( ph -> ( ( T x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )
15	7, 9, 11, 14	addcanad 8184	1 |- ( ph -> R = S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5904   CCcc 7849   + caddc 7854   x. cmul 7856   ZZcz 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-mulrcl 7950  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-sub 8171  df-neg 8172  df-inn 8961  df-n0 9218  df-z 9295

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11973  divalglemeuneg  11975