Theorem addcanad 8207

Description: Cancelling a term on the left-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcand 8205. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addcanad.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
addcanad	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcanad.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
2		addcand.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcand 8205	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  divalglemqt  12063