Theorem addcanad 8288

Description: Cancelling a term on the left-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcand 8286. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addcanad.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
addcanad	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcanad.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
2		addcand.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcand 8286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  ℂcc 7953   + caddc 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-iota 5246  df-fv 5293  df-ov 5965

This theorem is referenced by:  divalglemqt  12315