ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcanad GIF version

Theorem addcanad 7865
Description: Cancelling a term on the left-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcand 7863. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
addcand.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
addcanad.4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
addcanad (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcanad
StepHypRef Expression
1 addcanad.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
2 addcand.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addcand.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 addcand.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 3, 4addcand 7863 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
61, 5mpbid 146 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1312  wcel 1461  (class class class)co 5726  cc 7539   + caddc 7544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-iota 5044  df-fv 5087  df-ov 5729
This theorem is referenced by:  divalglemqt  11458
  Copyright terms: Public domain W3C validator