Theorem bdpeano5 13825

Description: Bounded version of peano5 4575. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	|- BOUNDED A

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 |- BOUNDED A
2		bj-omex 13824	. . 3 |- om e. _V
3	1, 2	bdinex1 13781	. 2 |- ( om i^i A ) e. _V
4		peano5set 13822	. 2 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	ax-mp 5	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567  BOUNDED wbdc 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdor 13698  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766  ax-infvn 13823

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  13829