Theorem bdpeano5 14991

Description: Bounded version of peano5 4609. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	|- BOUNDED A

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 |- BOUNDED A
2		bj-omex 14990	. . 3 |- om e. _V
3	1, 2	bdinex1 14947	. 2 |- ( om i^i A ) e. _V
4		peano5set 14988	. 2 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	ax-mp 5	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749   i^i cin 3140   C_ wss 3141   (/)c0 3434   suc csuc 4377   omcom 4601  BOUNDED wbdc 14888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-nul 4141  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-bd0 14861  ax-bdor 14864  ax-bdex 14867  ax-bdeq 14868  ax-bdel 14869  ax-bdsb 14870  ax-bdsep 14932  ax-infvn 14989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-suc 4383  df-iom 4602  df-bdc 14889  df-bj-ind 14975

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  14995