Theorem bdpeano5 15589

Description: Bounded version of peano5 4634. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	|- BOUNDED A

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 |- BOUNDED A
2		bj-omex 15588	. . 3 |- om e. _V
3	1, 2	bdinex1 15545	. 2 |- ( om i^i A ) e. _V
4		peano5set 15586	. 2 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	ax-mp 5	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   suc csuc 4400   omcom 4626  BOUNDED wbdc 15486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdor 15462  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530  ax-infvn 15587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15487  df-bj-ind 15573

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  15593