Theorem bdpeano5 16981

Description: Bounded version of peano5 4745. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	⊢ BOUNDED 𝐴

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 ⊢ BOUNDED 𝐴
2		bj-omex 16980	. . 3 ⊢ ω ∈ V
3	1, 2	bdinex1 16937	. 2 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4		peano5set 16978	. 2 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  suc csuc 4510  ωcom 4737  BOUNDED wbdc 16878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4259  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-bd0 16851  ax-bdor 16854  ax-bdex 16857  ax-bdeq 16858  ax-bdel 16859  ax-bdsep 16922  ax-infvn 16979

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-bdc 16879  df-bj-ind 16965

This theorem is used by:  bj-bdfindis  16985