Theorem bdpeano5 16825

Description: Bounded version of peano5 4725. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	⊢ BOUNDED 𝐴

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 ⊢ BOUNDED 𝐴
2		bj-omex 16824	. . 3 ⊢ ω ∈ V
3	1, 2	bdinex1 16781	. 2 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4		peano5set 16822	. 2 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  suc csuc 4491  ωcom 4717  BOUNDED wbdc 16722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-nul 4241  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-bd0 16695  ax-bdor 16698  ax-bdex 16701  ax-bdeq 16702  ax-bdel 16703  ax-bdsb 16704  ax-bdsep 16766  ax-infvn 16823

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-suc 4497  df-iom 4718  df-bdc 16723  df-bj-ind 16809

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  16829