Theorem bdpeano5 16639

Description: Bounded version of peano5 4702. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	⊢ BOUNDED 𝐴

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 ⊢ BOUNDED 𝐴
2		bj-omex 16638	. . 3 ⊢ ω ∈ V
3	1, 2	bdinex1 16595	. 2 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4		peano5set 16636	. 2 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  suc csuc 4468  ωcom 4694  BOUNDED wbdc 16536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4220  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-bd0 16509  ax-bdor 16512  ax-bdex 16515  ax-bdeq 16516  ax-bdel 16517  ax-bdsb 16518  ax-bdsep 16580  ax-infvn 16637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-suc 4474  df-iom 4695  df-bdc 16537  df-bj-ind 16623

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  16643