Theorem bdpeano5 11181

Description: Bounded version of peano5 4376. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bdpeano5.bd	⊢ BOUNDED 𝐴

Assertion

Ref	Expression
bdpeano5	⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdpeano5.bd	. . 3 ⊢ BOUNDED 𝐴
2		bj-omex 11180	. . 3 ⊢ ω ∈ V
3	1, 2	bdinex1 11133	. 2 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4		peano5set 11178	. 2 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	ax-mp 7	1 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  Vcvv 2612   ∩ cin 2983   ⊆ wss 2984  ∅c0 3269  suc csuc 4156  ωcom 4368  BOUNDED wbdc 11074

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-nul 3930  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-bd0 11047  ax-bdor 11050  ax-bdex 11053  ax-bdeq 11054  ax-bdel 11055  ax-bdsb 11056  ax-bdsep 11118  ax-infvn 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628  df-int 3663  df-suc 4162  df-iom 4369  df-bdc 11075  df-bj-ind 11165

This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  11185