Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdpeano5 GIF version

Theorem bdpeano5 15048
Description: Bounded version of peano5 4609. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bdpeano5.bd BOUNDED 𝐴
Assertion
Ref Expression
bdpeano5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5
StepHypRef Expression
1 bdpeano5.bd . . 3 BOUNDED 𝐴
2 bj-omex 15047 . . 3 ω ∈ V
31, 2bdinex1 15004 . 2 (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4 peano5set 15045 . 2 ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
53, 4ax-mp 5 1 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2158  wral 2465  Vcvv 2749  cin 3140  wss 3141  c0 3434  suc csuc 4377  ωcom 4601  BOUNDED wbdc 14945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-nul 4141  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-bd0 14918  ax-bdor 14921  ax-bdex 14924  ax-bdeq 14925  ax-bdel 14926  ax-bdsb 14927  ax-bdsep 14989  ax-infvn 15046
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-suc 4383  df-iom 4602  df-bdc 14946  df-bj-ind 15032
This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  15052
  Copyright terms: Public domain W3C validator