Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdpeano5 GIF version

Theorem bdpeano5 14883
Description: Bounded version of peano5 4599. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bdpeano5.bd BOUNDED 𝐴
Assertion
Ref Expression
bdpeano5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem bdpeano5
StepHypRef Expression
1 bdpeano5.bd . . 3 BOUNDED 𝐴
2 bj-omex 14882 . . 3 ω ∈ V
31, 2bdinex1 14839 . 2 (ω ∩ 𝐴) ∈ V
4 peano5set 14880 . 2 ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
53, 4ax-mp 5 1 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2739  cin 3130  wss 3131  c0 3424  suc csuc 4367  ωcom 4591  BOUNDED wbdc 14780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4131  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14753  ax-bdor 14756  ax-bdex 14759  ax-bdeq 14760  ax-bdel 14761  ax-bdsb 14762  ax-bdsep 14824  ax-infvn 14881
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-suc 4373  df-iom 4592  df-bdc 14781  df-bj-ind 14867
This theorem is referenced by:  bj-bdfindis  14887
  Copyright terms: Public domain W3C validator