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Theorem peano5 4507
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4512. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfom3 4501 . . 3  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
2 peano1 4503 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
3 elin 3254 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( om  i^i  A
)  <->  ( (/)  e.  om  /\  (/)  e.  A ) )
42, 3mpbiran 924 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( om  i^i  A
)  <->  (/)  e.  A )
54biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( om  i^i  A ) )
6 peano2 4504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
76adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  om )
87a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  om ) )
9 pm3.31 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  A
) )
108, 9jcad 305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e. 
om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1110alimi 1431 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  A. x ( ( x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
12 df-ral 2419 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  <->  A. x ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
13 elin 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  i^i  A )  <->  ( x  e. 
om  /\  x  e.  A ) )
14 elin 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  ( om 
i^i  A )  <->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A )
)
1513, 14imbi12i 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( om 
i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om 
i^i  A ) )  <-> 
( ( x  e. 
om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1615albii 1446 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  e.  ( om  i^i  A
)  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) )  <->  A. x
( ( x  e. 
om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1711, 12, 163imtr4i 200 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  A. x ( x  e.  ( om  i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
18 df-ral 2419 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A
)  <->  A. x ( x  e.  ( om  i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
1917, 18sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) )
205, 19anim12i 336 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
21 omex 4502 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
2221inex1 4057 . . . . . 6  |-  ( om 
i^i  A )  e. 
_V
23 eleq2 2201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( (/)  e.  y  <->  (/) 
e.  ( om  i^i  A ) ) )
24 eleq2 2201 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( suc  x  e.  y  <->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
2524raleqbi1dv 2632 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( A. x  e.  y  suc  x  e.  y  <->  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
2623, 25anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( ( (/) 
e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  <->  (
(/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) ) )
2722, 26elab 2823 . . . . 5  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  ( (/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
2820, 27sylibr 133 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  i^i  A )  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
29 intss1 3781 . . . 4  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  C_  ( om  i^i  A ) )
3028, 29syl 14 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  C_  ( om  i^i  A ) )
311, 30eqsstrid 3138 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
32 ssid 3112 . . . 4  |-  om  C_  om
3332biantrur 301 . . 3  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  C_  om  /\  om  C_  A ) )
34 ssin 3293 . . 3  |-  ( ( om  C_  om  /\  om  C_  A )  <->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
3533, 34bitri 183 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
3631, 35sylibr 133 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2123   A.wral 2414    i^i cin 3065    C_ wss 3066   (/)c0 3358   |^|cint 3766   suc csuc 4282   omcom 4499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-suc 4288  df-iom 4500
This theorem is referenced by:  find  4508  finds  4509  finds2  4510  indpi  7143
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