Theorem peano5 4598

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as Theorem findes 4603. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfom3 4592	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
2		peano1 4594	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
3		elin 3319	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A ) )
4	2, 3	mpbiran 940	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> (/) e. A )
5	4	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A ) )
6		peano2 4595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om ) )
9		pm3.31 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. A ) )
10	8, 9	jcad 307	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
11	10	alimi 1455	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
12		df-ral 2460	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) <-> A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
13		elin 3319	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om i^i A ) <-> ( x e. om /\ x e. A ) )
14		elin 3319	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( om i^i A ) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) )
15	13, 14	imbi12i 239	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
16	15	albii 1470	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
17	11, 12, 16	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
18		df-ral 2460	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) <-> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) )
20	5, 19	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
21		omex 4593	. . . . . . 7 |- om e. _V
22	21	inex1 4138	. . . . . 6 |- ( om i^i A ) e. _V
23		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( (/) e. y <-> (/) e. ( om i^i A ) ) )
24		eleq2 2241	. . . . . . . 8 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( suc x e. y <-> suc x e. ( om i^i A ) ) )
25	24	raleqbi1dv 2681	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) ) )
27	22, 26	elab 2882	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
28	20, 27	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		intss1 3860	. . . 4 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
30	28, 29	syl 14	. . 3 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
31	1, 30	eqsstrid 3202	. 2 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
32		ssid 3176	. . . 4 |- om C_ om
33	32	biantrur 303	. . 3 |- ( om C_ A <-> ( om C_ om /\ om C_ A ) )
34		ssin 3358	. . 3 |- ( ( om C_ om /\ om C_ A ) <-> om C_ ( om i^i A ) )
35	33, 34	bitri 184	. 2 |- ( om C_ A <-> om C_ ( om i^i A ) )
36	31, 35	sylibr 134	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   i^i cin 3129   C_ wss 3130   (/)c0 3423   |^|cint 3845   suc csuc 4366   omcom 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-int 3846  df-suc 4372  df-iom 4591

This theorem is referenced by:  find  4599  finds  4600  finds2  4601  indpi  7341