Theorem peano5 4630

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as Theorem findes 4635. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfom3 4624	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
2		peano1 4626	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
3		elin 3342	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A ) )
4	2, 3	mpbiran 942	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> (/) e. A )
5	4	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A ) )
6		peano2 4627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om ) )
9		pm3.31 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. A ) )
10	8, 9	jcad 307	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
11	10	alimi 1466	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
12		df-ral 2477	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) <-> A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
13		elin 3342	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om i^i A ) <-> ( x e. om /\ x e. A ) )
14		elin 3342	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( om i^i A ) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) )
15	13, 14	imbi12i 239	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
16	15	albii 1481	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
17	11, 12, 16	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
18		df-ral 2477	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) <-> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) )
20	5, 19	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
21		omex 4625	. . . . . . 7 |- om e. _V
22	21	inex1 4163	. . . . . 6 |- ( om i^i A ) e. _V
23		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( (/) e. y <-> (/) e. ( om i^i A ) ) )
24		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( suc x e. y <-> suc x e. ( om i^i A ) ) )
25	24	raleqbi1dv 2702	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) ) )
27	22, 26	elab 2904	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
28	20, 27	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		intss1 3885	. . . 4 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
30	28, 29	syl 14	. . 3 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
31	1, 30	eqsstrid 3225	. 2 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
32		ssid 3199	. . . 4 |- om C_ om
33	32	biantrur 303	. . 3 |- ( om C_ A <-> ( om C_ om /\ om C_ A ) )
34		ssin 3381	. . 3 |- ( ( om C_ om /\ om C_ A ) <-> om C_ ( om i^i A ) )
35	33, 34	bitri 184	. 2 |- ( om C_ A <-> om C_ ( om i^i A ) )
36	31, 35	sylibr 134	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   i^i cin 3152   C_ wss 3153   (/)c0 3446   |^|cint 3870   suc csuc 4396   omcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  find  4631  finds  4632  finds2  4633  indpi  7402