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Theorem peano5 4413
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4418. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfom3 4407 . . 3  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
2 peano1 4409 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
3 elin 3183 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( om  i^i  A
)  <->  ( (/)  e.  om  /\  (/)  e.  A ) )
42, 3mpbiran 886 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( om  i^i  A
)  <->  (/)  e.  A )
54biimpri 131 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( om  i^i  A ) )
6 peano2 4410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
76adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  om )
87a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  om ) )
9 pm3.31 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  e.  A
) )
108, 9jcad 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (
x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e. 
om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1110alimi 1389 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  A. x ( ( x  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
12 df-ral 2364 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  <->  A. x ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
13 elin 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  i^i  A )  <->  ( x  e. 
om  /\  x  e.  A ) )
14 elin 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  ( om 
i^i  A )  <->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A )
)
1513, 14imbi12i 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( om 
i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om 
i^i  A ) )  <-> 
( ( x  e. 
om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1615albii 1404 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  e.  ( om  i^i  A
)  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) )  <->  A. x
( ( x  e. 
om  /\  x  e.  A )  ->  ( suc  x  e.  om  /\  suc  x  e.  A ) ) )
1711, 12, 163imtr4i 199 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  A. x ( x  e.  ( om  i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
18 df-ral 2364 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A
)  <->  A. x ( x  e.  ( om  i^i  A )  ->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
1917, 18sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) )
205, 19anim12i 331 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( (/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
21 omex 4408 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
2221inex1 3973 . . . . . 6  |-  ( om 
i^i  A )  e. 
_V
23 eleq2 2151 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( (/)  e.  y  <->  (/) 
e.  ( om  i^i  A ) ) )
24 eleq2 2151 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( suc  x  e.  y  <->  suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) )
2524raleqbi1dv 2570 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( A. x  e.  y  suc  x  e.  y  <->  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
2623, 25anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( om  i^i  A )  ->  ( ( (/) 
e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  <->  (
(/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A ) suc  x  e.  ( om  i^i  A
) ) ) )
2722, 26elab 2760 . . . . 5  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  ( (/)  e.  ( om  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( om  i^i  A
) suc  x  e.  ( om  i^i  A ) ) )
2820, 27sylibr 132 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  i^i  A )  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
29 intss1 3703 . . . 4  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  C_  ( om  i^i  A ) )
3028, 29syl 14 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  C_  ( om  i^i  A ) )
311, 30syl5eqss 3070 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
32 ssid 3044 . . . 4  |-  om  C_  om
3332biantrur 297 . . 3  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  C_  om  /\  om  C_  A ) )
34 ssin 3222 . . 3  |-  ( ( om  C_  om  /\  om  C_  A )  <->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
3533, 34bitri 182 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
3631, 35sylibr 132 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   |^|cint 3688   suc csuc 4192   omcom 4405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-suc 4198  df-iom 4406
This theorem is referenced by:  find  4414  finds  4415  finds2  4416  indpi  6901
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