Theorem speano5 16539

Description: Version of peano5 4696 when A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speano5	|- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem speano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omex 16537	. . . 4 |- om e. _V
2		bj-inex 16502	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A e. V ) -> ( om i^i A ) e. _V )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. V -> ( om i^i A ) e. _V )
4		peano5set 16535	. . 3 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
6	5	3impib 1227	1 |- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   suc csuc 4462   omcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4215  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-bd0 16408  ax-bdan 16410  ax-bdor 16411  ax-bdex 16414  ax-bdeq 16415  ax-bdel 16416  ax-bdsb 16417  ax-bdsep 16479  ax-infvn 16536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-bdc 16436  df-bj-ind 16522

This theorem is referenced by:  findset  16540