Theorem speano5 16970

Description: Version of peano5 4745 when A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speano5	|- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem speano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omex 16968	. . . 4 |- om e. _V
2		bj-inex 16933	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A e. V ) -> ( om i^i A ) e. _V )
3	1, 2	mpan 428	. . 3 |- ( A e. V -> ( om i^i A ) e. _V )
4		peano5set 16966	. . 3 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
6	5	3impib 1232	1 |- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   suc csuc 4510   omcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4259  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-bd0 16839  ax-bdan 16841  ax-bdor 16842  ax-bdex 16845  ax-bdeq 16846  ax-bdel 16847  ax-bdsb 16848  ax-bdsep 16910  ax-infvn 16967

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-bdc 16867  df-bj-ind 16953

This theorem is used by:  findset  16971