Theorem speano5 16449

Description: Version of peano5 4692 when A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speano5	|- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem speano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omex 16447	. . . 4 |- om e. _V
2		bj-inex 16412	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A e. V ) -> ( om i^i A ) e. _V )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. V -> ( om i^i A ) e. _V )
4		peano5set 16445	. . 3 |- ( ( om i^i A ) e. _V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )
6	5	3impib 1225	1 |- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   suc csuc 4458   omcom 4684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-nul 4211  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-bd0 16318  ax-bdan 16320  ax-bdor 16321  ax-bdex 16324  ax-bdeq 16325  ax-bdel 16326  ax-bdsb 16327  ax-bdsep 16389  ax-infvn 16446

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3890  df-int 3925  df-suc 4464  df-iom 4685  df-bdc 16346  df-bj-ind 16432

This theorem is referenced by:  findset  16450