Theorem bj-nntrans2 13139

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 13138	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2502	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 4025	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 133	1 |- ( A e. om -> Tr A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   A.wral 2414   C_ wss 3066   Tr wtr 4021   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-bd0 13000  ax-bdor 13003  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdel 13008  ax-bdsb 13009  ax-bdsep 13071  ax-infvn 13128

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-suc 4288  df-iom 4500  df-bdc 13028  df-bj-ind 13114

This theorem is referenced by:  bj-nnord  13145  bj-omord  13147