Theorem bj-nntrans2 14564

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 14563	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2549	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 4104	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> Tr A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   Tr wtr 4100   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4128  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-bd0 14425  ax-bdor 14428  ax-bdal 14430  ax-bdex 14431  ax-bdeq 14432  ax-bdel 14433  ax-bdsb 14434  ax-bdsep 14496  ax-infvn 14553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4101  df-suc 4370  df-iom 4589  df-bdc 14453  df-bj-ind 14539

This theorem is referenced by:  bj-nnord  14570  bj-omord  14572