Theorem bj-nntrans2 15565

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 15564	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2569	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 4135	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> Tr A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   Tr wtr 4131   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15426  ax-bdor 15429  ax-bdal 15431  ax-bdex 15432  ax-bdeq 15433  ax-bdel 15434  ax-bdsb 15435  ax-bdsep 15497  ax-infvn 15554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15454  df-bj-ind 15540

This theorem is referenced by:  bj-nnord  15571  bj-omord  15573