Theorem bj-nntrans2 16961

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 16960	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2622	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 4231	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> Tr A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   Tr wtr 4227   omcom 4735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4257  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-bd0 16822  ax-bdor 16825  ax-bdal 16827  ax-bdex 16828  ax-bdeq 16829  ax-bdel 16830  ax-bdsb 16831  ax-bdsep 16893  ax-infvn 16950

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-tr 4228  df-suc 4514  df-iom 4736  df-bdc 16850  df-bj-ind 16936

This theorem is used by:  bj-nnord  16967  bj-omord  16969