Theorem bj-nntrans2 14244

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 14243	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2547	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 4100	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 134	1 |- ( A e. om -> Tr A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146   A.wral 2453   C_ wss 3127   Tr wtr 4096   omcom 4583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-nul 4124  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-bd0 14105  ax-bdor 14108  ax-bdal 14110  ax-bdex 14111  ax-bdeq 14112  ax-bdel 14113  ax-bdsb 14114  ax-bdsep 14176  ax-infvn 14233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-sn 3595  df-pr 3596  df-uni 3806  df-int 3841  df-tr 4097  df-suc 4365  df-iom 4584  df-bdc 14133  df-bj-ind 14219

This theorem is referenced by:  bj-nnord  14250  bj-omord  14252