Theorem bj-nnord 15063

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4623. Can also be proved from bj-nnelon 15064 if the latter is proved from bj-omssonALT 15068. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 15057	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 15061	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3166	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 15057	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1884	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2470	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4379	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1361   e. wcel 2158   A.wral 2465   Tr wtr 4113   Ord word 4374   omcom 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-nul 4141  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-bd0 14918  ax-bdor 14921  ax-bdal 14923  ax-bdex 14924  ax-bdeq 14925  ax-bdel 14926  ax-bdsb 14927  ax-bdsep 14989  ax-infvn 15046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-tr 4114  df-iord 4378  df-suc 4383  df-iom 4602  df-bdc 14946  df-bj-ind 15032

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  15064