Theorem bj-nnord 13327

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnord 4533. Can also be proved from bj-nnelon 13328 if the latter is proved from bj-omssonALT 13332. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 13321	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 13325	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3101	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 13321	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1847	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2422	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 133	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4297	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 414	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1330   e. wcel 1481   A.wral 2417   Tr wtr 4034   Ord word 4292   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4062  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-bd0 13182  ax-bdor 13185  ax-bdal 13187  ax-bdex 13188  ax-bdeq 13189  ax-bdel 13190  ax-bdsb 13191  ax-bdsep 13253  ax-infvn 13310

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-suc 4301  df-iom 4513  df-bdc 13210  df-bj-ind 13296

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  13328