Theorem bj-nnord 13840

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4589. Can also be proved from bj-nnelon 13841 if the latter is proved from bj-omssonALT 13845. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 13834	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 13838	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3141	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 13834	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1862	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2449	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 133	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4345	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 414	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1341   e. wcel 2136   A.wral 2444   Tr wtr 4080   Ord word 4340   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdor 13698  ax-bdal 13700  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766  ax-infvn 13823

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  13841