Theorem bj-nnord 16674

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4716. Can also be proved from bj-nnelon 16675 if the latter is proved from bj-omssonALT 16679. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 16668	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 16672	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3227	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 16668	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1922	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2516	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4470	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1396   e. wcel 2202   A.wral 2511   Tr wtr 4192   Ord word 4465   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4220  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-bd0 16529  ax-bdor 16532  ax-bdal 16534  ax-bdex 16535  ax-bdeq 16536  ax-bdel 16537  ax-bdsb 16538  ax-bdsep 16600  ax-infvn 16657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-suc 4474  df-iom 4695  df-bdc 16557  df-bj-ind 16643

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  16675