Theorem bj-nnord 16553

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4710. Can also be proved from bj-nnelon 16554 if the latter is proved from bj-omssonALT 16558. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 16547	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 16551	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3226	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 16547	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1922	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2515	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4464	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1395   e. wcel 2202   A.wral 2510   Tr wtr 4187   Ord word 4459   omcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4215  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-bd0 16408  ax-bdor 16411  ax-bdal 16413  ax-bdex 16414  ax-bdeq 16415  ax-bdel 16416  ax-bdsb 16417  ax-bdsep 16479  ax-infvn 16536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-suc 4468  df-iom 4689  df-bdc 16436  df-bj-ind 16522

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  16554