Theorem bj-nnord 13145

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnord 4520. Can also be proved from bj-nnelon 13146 if the latter is proved from bj-omssonALT 13150. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 13139	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 13143	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3091	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 13139	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1846	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2419	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 133	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4284	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 413	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1329   e. wcel 1480   A.wral 2414   Tr wtr 4021   Ord word 4279   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-bd0 13000  ax-bdor 13003  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdel 13008  ax-bdsb 13009  ax-bdsep 13071  ax-infvn 13128

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-suc 4288  df-iom 4500  df-bdc 13028  df-bj-ind 13114

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  13146