Theorem bj-nnord 15604

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4648. Can also be proved from bj-nnelon 15605 if the latter is proved from bj-omssonALT 15609. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	|- ( A e. om -> Ord A )

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 15598	. 2 |- ( A e. om -> Tr A )
2		bj-omtrans 15602	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A C_ om )
3	2	sseld 3182	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
4		bj-nntrans2 15598	. . . . 5 |- ( x e. om -> Tr x )
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 |- ( A e. om -> ( x e. A -> Tr x ) )
6	5	alrimiv 1888	. . 3 |- ( A e. om -> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
7		df-ral 2480	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x ( x e. A -> Tr x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A Tr x )
9		dford3 4402	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A Tr x ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( A e. om -> Ord A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475   Tr wtr 4131   Ord word 4397   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdor 15462  ax-bdal 15464  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530  ax-infvn 15587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15487  df-bj-ind 15573

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  15605