Theorem bj-nnelirr 13988

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4525 for natural numbers, which does not require ax-setind 4521. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3418	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4356	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2237	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3268	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 13986	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4409	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4402	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3601	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	eleqtrid 2259	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 712	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	syl5bi 151	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 626	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2523	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 13856	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 13852	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1521	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1521	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1521	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2234	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 662	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 157	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 2145	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 2146	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 662	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 143	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2234	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 662	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 157	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2312	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1521	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2234	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 662	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 143	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 13983	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 424	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdn 13852  ax-bdal 13853  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919  ax-infvn 13976

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  13989