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Theorem bj-nnelirr 15515
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4574 for natural numbers, which does not require ax-setind 4570. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3451 . 2  |-  -.  (/)  e.  (/)
2 df-suc 4403 . . . . . 6  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
32eleq2i 2260 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  suc  y  <->  suc  y  e.  ( y  u.  { y } ) )
4 elun 3301 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  ( y  u.  { y } )  <->  ( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e.  { y } ) )
5 bj-nntrans 15513 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  suc  y  C_  y
) )
6 sucssel 4456 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  C_  y  -> 
y  e.  y ) )
75, 6syld 45 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  y  e.  y ) )
8 vex 2763 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
98sucid 4449 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
10 elsni 3637 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  suc  y  =  y )
119, 10eleqtrid 2282 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y ) )
137, 12jaod 718 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e. 
{ y } )  ->  y  e.  y ) )
144, 13biimtrid 152 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  (
y  u.  { y } )  ->  y  e.  y ) )
153, 14biimtrid 152 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  suc  y  ->  y  e.  y ) )
1615con3d 632 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
1716rgen 2547 . 2  |-  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
18 ax-bdel 15383 . . . 4  |- BOUNDED  x  e.  x
1918ax-bdn 15379 . . 3  |- BOUNDED  -.  x  e.  x
20 nfv 1539 . . 3  |-  F/ x  -.  (/)  e.  (/)
21 nfv 1539 . . 3  |-  F/ x  -.  y  e.  y
22 nfv 1539 . . 3  |-  F/ x  -.  suc  y  e.  suc  y
23 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  x
) )
24 eleq2 2257 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2523, 24bitrd 188 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2625notbid 668 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  (/)  e.  (/) ) )
2726biimprd 158 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  (/)  e.  (/)  ->  -.  x  e.  x ) )
28 elequ1 2168 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
29 elequ2 2169 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3028, 29bitrd 188 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3130notbid 668 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
3231biimpd 144 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  y  e.  y ) )
33 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  x ) )
34 eleq2 2257 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  x 
<->  suc  y  e.  suc  y ) )
3533, 34bitrd 188 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  suc  y
) )
3635notbid 668 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  x  e.  x  <->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
3736biimprd 158 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  suc  y  e.  suc  y  ->  -.  x  e.  x )
)
38 nfcv 2336 . . 3  |-  F/_ x A
39 nfv 1539 . . 3  |-  F/ x  -.  A  e.  A
40 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  x ) )
41 eleq2 2257 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4240, 41bitrd 188 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4342notbid 668 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  A  e.  A ) )
4443biimpd 144 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A
) )
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 15510 . 2  |-  ( ( -.  (/)  e.  (/)  /\  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )  ->  ( A  e. 
om  ->  -.  A  e.  A ) )
461, 17, 45mp2an 426 1  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472    u. cun 3152    C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   suc csuc 4397   omcom 4623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4156  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-bd0 15375  ax-bdor 15378  ax-bdn 15379  ax-bdal 15380  ax-bdex 15381  ax-bdeq 15382  ax-bdel 15383  ax-bdsb 15384  ax-bdsep 15446  ax-infvn 15503
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624  df-bdc 15403  df-bj-ind 15489
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  15516
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