Theorem bj-nnelirr 16893

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4683 for natural numbers, which does not require ax-setind 4679. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4511	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2305	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3370	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 16891	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4564	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4557	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3723	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	eleqtrid 2327	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 729	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	biimtrid 152	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 640	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2603	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 16761	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 16757	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1581	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1581	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1581	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 677	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 158	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 2213	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 2214	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 677	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 144	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 677	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 158	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1581	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 677	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 144	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 16888	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 430	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   suc csuc 4505   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4254  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-bd0 16753  ax-bdor 16756  ax-bdn 16757  ax-bdal 16758  ax-bdex 16759  ax-bdeq 16760  ax-bdel 16761  ax-bdsb 16762  ax-bdsep 16824  ax-infvn 16881

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733  df-bdc 16781  df-bj-ind 16867

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  16894