Theorem bj-nnelirr 13670

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4512 for natural numbers, which does not require ax-setind 4508. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3408	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4343	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2231	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3258	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 13668	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4396	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2724	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4389	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3588	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	eleqtrid 2253	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 707	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	syl5bi 151	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 621	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2517	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 13538	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 13534	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1515	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1515	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1515	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2227	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2228	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 657	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 157	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 2139	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 2140	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 657	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 143	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2227	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2228	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 657	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 157	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2306	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1515	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2227	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2228	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 657	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 143	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 13665	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 423	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   u. cun 3109   C_ wss 3111   (/)c0 3404   {csn 3570   suc csuc 4337   omcom 4561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-nul 4102  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-bd0 13530  ax-bdor 13533  ax-bdn 13534  ax-bdal 13535  ax-bdex 13536  ax-bdeq 13537  ax-bdel 13538  ax-bdsb 13539  ax-bdsep 13601  ax-infvn 13658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-suc 4343  df-iom 4562  df-bdc 13558  df-bj-ind 13644

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  13671