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Theorem bj-nnelirr 13320
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4463 for natural numbers, which does not require ax-setind 4459. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3371 . 2  |-  -.  (/)  e.  (/)
2 df-suc 4300 . . . . . 6  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
32eleq2i 2207 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  suc  y  <->  suc  y  e.  ( y  u.  { y } ) )
4 elun 3221 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  ( y  u.  { y } )  <->  ( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e.  { y } ) )
5 bj-nntrans 13318 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  suc  y  C_  y
) )
6 sucssel 4353 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  C_  y  -> 
y  e.  y ) )
75, 6syld 45 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  y  e.  y ) )
8 vex 2692 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
98sucid 4346 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
10 elsni 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  suc  y  =  y )
119, 10eleqtrid 2229 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y ) )
137, 12jaod 707 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e. 
{ y } )  ->  y  e.  y ) )
144, 13syl5bi 151 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  (
y  u.  { y } )  ->  y  e.  y ) )
153, 14syl5bi 151 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  suc  y  ->  y  e.  y ) )
1615con3d 621 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
1716rgen 2488 . 2  |-  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
18 ax-bdel 13188 . . . 4  |- BOUNDED  x  e.  x
1918ax-bdn 13184 . . 3  |- BOUNDED  -.  x  e.  x
20 nfv 1509 . . 3  |-  F/ x  -.  (/)  e.  (/)
21 nfv 1509 . . 3  |-  F/ x  -.  y  e.  y
22 nfv 1509 . . 3  |-  F/ x  -.  suc  y  e.  suc  y
23 eleq1 2203 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  x
) )
24 eleq2 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2523, 24bitrd 187 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2625notbid 657 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  (/)  e.  (/) ) )
2726biimprd 157 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  (/)  e.  (/)  ->  -.  x  e.  x ) )
28 elequ1 1691 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
29 elequ2 1692 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3028, 29bitrd 187 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3130notbid 657 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
3231biimpd 143 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  y  e.  y ) )
33 eleq1 2203 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  x ) )
34 eleq2 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  x 
<->  suc  y  e.  suc  y ) )
3533, 34bitrd 187 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  suc  y
) )
3635notbid 657 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  x  e.  x  <->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
3736biimprd 157 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  suc  y  e.  suc  y  ->  -.  x  e.  x )
)
38 nfcv 2282 . . 3  |-  F/_ x A
39 nfv 1509 . . 3  |-  F/ x  -.  A  e.  A
40 eleq1 2203 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  x ) )
41 eleq2 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4240, 41bitrd 187 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4342notbid 657 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  A  e.  A ) )
4443biimpd 143 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A
) )
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 13315 . 2  |-  ( ( -.  (/)  e.  (/)  /\  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )  ->  ( A  e. 
om  ->  -.  A  e.  A ) )
461, 17, 45mp2an 423 1  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 698    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417    u. cun 3073    C_ wss 3075   (/)c0 3367   {csn 3531   suc csuc 4294   omcom 4511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4061  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-bd0 13180  ax-bdor 13183  ax-bdn 13184  ax-bdal 13185  ax-bdex 13186  ax-bdeq 13187  ax-bdel 13188  ax-bdsb 13189  ax-bdsep 13251  ax-infvn 13308
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-int 3779  df-suc 4300  df-iom 4512  df-bdc 13208  df-bj-ind 13294
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  13321
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