Theorem bj-nnelirr 16669

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4645 for natural numbers, which does not require ax-setind 4641. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3500	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4474	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2298	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3350	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 16667	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4527	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2806	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4520	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3691	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	eleqtrid 2320	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 725	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	biimtrid 152	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 636	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2586	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 16537	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 16533	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1577	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1577	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1577	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 673	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 158	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 2206	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 2207	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 673	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 144	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 673	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 158	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2375	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1577	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 673	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 144	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 16664	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 426	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4220  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-bd0 16529  ax-bdor 16532  ax-bdn 16533  ax-bdal 16534  ax-bdex 16535  ax-bdeq 16536  ax-bdel 16537  ax-bdsb 16538  ax-bdsep 16600  ax-infvn 16657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-suc 4474  df-iom 4695  df-bdc 16557  df-bj-ind 16643

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  16670