Theorem bj-nnelirr 15599

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4577 for natural numbers, which does not require ax-setind 4573. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3454	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4406	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2263	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3304	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 15597	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4459	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4452	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3640	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	eleqtrid 2285	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 718	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	biimtrid 152	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 632	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2550	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 15467	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 15463	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1542	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1542	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1542	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 668	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 158	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 2171	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 2172	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 668	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 144	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 668	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 158	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2339	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1542	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 668	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 144	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 15594	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 426	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   suc csuc 4400   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdor 15462  ax-bdn 15463  ax-bdal 15464  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530  ax-infvn 15587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15487  df-bj-ind 15573

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  15600