Theorem bj-nnelirr 12736

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4394 for natural numbers, which does not require ax-setind 4390. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- ( A e. om -> -. A e. A )

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3314	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4231	. . . . . 6 |- suc y = ( y u. { y } )
3	2	eleq2i 2166	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. ( y u. { y } ) )
4		elun 3164	. . . . . 6 |- ( suc y e. ( y u. { y } ) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) )
5		bj-nntrans 12734	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y ) )
6		sucssel 4284	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y ) )
7	5, 6	syld 45	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y ) )
8		vex 2644	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4277	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3492	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. { y } -> suc y = y )
11	9, 10	syl5eleq 2188	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. { y } -> y e. y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( suc y e. { y } -> y e. y ) )
13	7, 12	jaod 678	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( suc y e. y \/ suc y e. { y } ) -> y e. y ) )
14	4, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( suc y e. ( y u. { y } ) -> y e. y ) )
15	3, 14	syl5bi 151	. . . 4 |- ( y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y ) )
16	15	con3d 601	. . 3 |- ( y e. om -> ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) )
17	16	rgen 2444	. 2 |- A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y )
18		ax-bdel 12600	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 12596	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1476	. . 3 |- F/ x -. (/) e. (/)
21		nfv 1476	. . 3 |- F/ x -. y e. y
22		nfv 1476	. . 3 |- F/ x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2162	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. x ) )
24		eleq2 2163	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) )
25	23, 24	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. x <-> (/) e. (/) ) )
26	25	notbid 633	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( -. x e. x <-> -. (/) e. (/) ) )
27	26	biimprd 157	. . 3 |- ( x = (/) -> ( -. (/) e. (/) -> -. x e. x ) )
28		elequ1 1658	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
29		elequ2 1659	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
30	28, 29	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
31	30	notbid 633	. . . 4 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
32	31	biimpd 143	. . 3 |- ( x = y -> ( -. x e. x -> -. y e. y ) )
33		eleq1 2162	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. x ) )
34		eleq2 2163	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y ) )
35	33, 34	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. x <-> suc y e. suc y ) )
36	35	notbid 633	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( -. x e. x <-> -. suc y e. suc y ) )
37	36	biimprd 157	. . 3 |- ( x = suc y -> ( -. suc y e. suc y -> -. x e. x ) )
38		nfcv 2240	. . 3 |- F/_ x A
39		nfv 1476	. . 3 |- F/ x -. A e. A
40		eleq1 2162	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. x ) )
41		eleq2 2163	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A e. x <-> A e. A ) )
42	40, 41	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. x <-> A e. A ) )
43	42	notbid 633	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. x <-> -. A e. A ) )
44	43	biimpd 143	. . 3 |- ( x = A -> ( -. x e. x -> -. A e. A ) )
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 12731	. 2 |- ( ( -. (/) e. (/) /\ A. y e. om ( -. y e. y -> -. suc y e. suc y ) ) -> ( A e. om -> -. A e. A ) )
46	1, 17, 45	mp2an 420	1 |- ( A e. om -> -. A e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 670   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   u. cun 3019   C_ wss 3021   (/)c0 3310   {csn 3474   suc csuc 4225   omcom 4442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-nul 3994  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-bd0 12592  ax-bdor 12595  ax-bdn 12596  ax-bdal 12597  ax-bdex 12598  ax-bdeq 12599  ax-bdel 12600  ax-bdsb 12601  ax-bdsep 12663  ax-infvn 12724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-int 3719  df-suc 4231  df-iom 4443  df-bdc 12620  df-bj-ind 12710

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  12737