Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans2 GIF version

Theorem bj-nntrans2 14624
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans2 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Proof of Theorem bj-nntrans2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-nntrans 14623 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
21ralrimiv 2549 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
3 dftr3 4105 . 2 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
42, 3sylibr 134 1 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  Tr wtr 4101  ωcom 4589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4129  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-bd0 14485  ax-bdor 14488  ax-bdal 14490  ax-bdex 14491  ax-bdeq 14492  ax-bdel 14493  ax-bdsb 14494  ax-bdsep 14556  ax-infvn 14613
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4102  df-suc 4371  df-iom 4590  df-bdc 14513  df-bj-ind 14599
This theorem is referenced by:  bj-nnord  14630  bj-omord  14632
  Copyright terms: Public domain W3C validator