Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans2 GIF version

Theorem bj-nntrans2 11847
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans2 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Proof of Theorem bj-nntrans2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-nntrans 11846 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
21ralrimiv 2445 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
3 dftr3 3940 . 2 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
42, 3sylibr 132 1 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1438  wral 2359  wss 2999  Tr wtr 3936  ωcom 4405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-nul 3965  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-bd0 11704  ax-bdor 11707  ax-bdal 11709  ax-bdex 11710  ax-bdeq 11711  ax-bdel 11712  ax-bdsb 11713  ax-bdsep 11775  ax-infvn 11836
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-tr 3937  df-suc 4198  df-iom 4406  df-bdc 11732  df-bj-ind 11822
This theorem is referenced by:  bj-nnord  11853  bj-omord  11855
  Copyright terms: Public domain W3C validator