Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans2 GIF version

Theorem bj-nntrans2 13569
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans2 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Proof of Theorem bj-nntrans2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-nntrans 13568 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
21ralrimiv 2529 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
3 dftr3 4067 . 2 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
42, 3sylibr 133 1 (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2128  wral 2435  wss 3102  Tr wtr 4063  ωcom 4550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4091  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-bd0 13430  ax-bdor 13433  ax-bdal 13435  ax-bdex 13436  ax-bdeq 13437  ax-bdel 13438  ax-bdsb 13439  ax-bdsep 13501  ax-infvn 13558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-tr 4064  df-suc 4332  df-iom 4551  df-bdc 13458  df-bj-ind 13544
This theorem is referenced by:  bj-nnord  13575  bj-omord  13577
  Copyright terms: Public domain W3C validator