Theorem bj-nntrans2 16892

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 16891	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
2	1	ralrimiv 2622	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		dftr3 4228	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  Tr wtr 4224  ωcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4254  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-bd0 16753  ax-bdor 16756  ax-bdal 16758  ax-bdex 16759  ax-bdeq 16760  ax-bdel 16761  ax-bdsb 16762  ax-bdsep 16824  ax-infvn 16881

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-suc 4511  df-iom 4733  df-bdc 16781  df-bj-ind 16867

This theorem is referenced by:  bj-nnord  16898  bj-omord  16900