Theorem bj-nntrans2 13569

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 13568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
2	1	ralrimiv 2529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		dftr3 4067	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 133	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ⊆ wss 3102  Tr wtr 4063  ωcom 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4091  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-bd0 13430  ax-bdor 13433  ax-bdal 13435  ax-bdex 13436  ax-bdeq 13437  ax-bdel 13438  ax-bdsb 13439  ax-bdsep 13501  ax-infvn 13558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-tr 4064  df-suc 4332  df-iom 4551  df-bdc 13458  df-bj-ind 13544

This theorem is referenced by:  bj-nnord  13575  bj-omord  13577