Theorem clsss3 12924

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X )

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	topcld 12903	. 2 |- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )
3	1	clsss2 12923	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X )
4	2, 3	sylan 281	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   U.cuni 3796   ` cfv 5198   Topctop 12789   Clsdccld 12886   clsccl 12888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-top 12790  df-cld 12889  df-cls 12891

This theorem is referenced by:  ntrcls0  12925