Theorem topcld 14742

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topcld	|- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3538	. . . 4 |- ( X \ X ) = (/)
2		0opn 14639	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
3	1, 2	eqeltrid 2294	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X \ X ) e. J )
4		ssid 3222	. . 3 |- X C_ X
5	3, 4	jctil 312	. 2 |- ( J e. Top -> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) )
6		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
7	6	iscld 14736	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. ( Clsd ` J ) <-> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) ) )
8	5, 7	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   \ cdif 3172   C_ wss 3175   (/)c0 3469   U.cuni 3865   ` cfv 5291   Topctop 14630   Clsdccld 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-top 14631  df-cld 14728

This theorem is referenced by:  clsval  14744  clstop  14760  clsss3  14763