Theorem topcld 15023

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topcld	|- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3579	. . . 4 |- ( X \ X ) = (/)
2		0opn 14920	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
3	1, 2	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X \ X ) e. J )
4		ssid 3260	. . 3 |- X C_ X
5	3, 4	jctil 312	. 2 |- ( J e. Top -> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) )
6		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
7	6	iscld 15017	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. ( Clsd ` J ) <-> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) ) )
8	5, 7	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3210   C_ wss 3213   (/)c0 3510   U.cuni 3916   ` cfv 5354   Topctop 14911   Clsdccld 15006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-top 14912  df-cld 15009

This theorem is referenced by:  clsval  15025  clstop  15041  clsss3  15044