Theorem topcld 14614

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topcld	|- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3529	. . . 4 |- ( X \ X ) = (/)
2		0opn 14511	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
3	1, 2	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X \ X ) e. J )
4		ssid 3213	. . 3 |- X C_ X
5	3, 4	jctil 312	. 2 |- ( J e. Top -> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) )
6		iscld.1	. . 3 |- X = U. J
7	6	iscld 14608	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. ( Clsd ` J ) <-> ( X C_ X /\ ( X \ X ) e. J ) ) )
8	5, 7	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   \ cdif 3163   C_ wss 3166   (/)c0 3460   U.cuni 3850   ` cfv 5272   Topctop 14502   Clsdccld 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-top 14503  df-cld 14600

This theorem is referenced by:  clsval  14616  clstop  14632  clsss3  14635