ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clsss2 Unicode version

Theorem clsss2 11996
Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )

Proof of Theorem clsss2
StepHypRef Expression
1 cldrcl 11969 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 271 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  J  e.  Top )
3 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cldss 11972 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
54adantr 271 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  C  C_  X )
6 simpr 109 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  S  C_  C )
73clsss 11985 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  C_  X  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
82, 5, 6, 7syl3anc 1181 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
9 cldcls 11981 . . 3  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  C )  =  C )
109adantr 271 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  C )  =  C )
118, 10sseqtrd 3077 1  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445    C_ wss 3013   U.cuni 3675   ` cfv 5049   Topctop 11863   Clsdccld 11959   clsccl 11961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-top 11864  df-cld 11962  df-cls 11964
This theorem is referenced by:  clsss3  11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator