Theorem clsss2 12923

Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss2	|- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ C )

Proof of Theorem clsss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 12896	. . . 4 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> J e. Top )
3		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cldss 12899	. . . 4 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> C C_ X )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> C C_ X )
6		simpr 109	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> S C_ C )
7	3	clsss 12912	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ C C_ X /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( ( cls ` J ) ` C ) )
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1233	. 2 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( ( cls ` J ) ` C ) )
9		cldcls 12908	. . 3 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` C ) = C )
10	9	adantr 274	. 2 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` C ) = C )
11	8, 10	sseqtrd 3185	1 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   U.cuni 3796   ` cfv 5198   Topctop 12789   Clsdccld 12886   clsccl 12888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-top 12790  df-cld 12889  df-cls 12891

This theorem is referenced by:  clsss3  12924