Theorem clsss2 11996

Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss2	|- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ C )

Proof of Theorem clsss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 11969	. . . 4 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2	1	adantr 271	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> J e. Top )
3		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
4	3	cldss 11972	. . . 4 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> C C_ X )
5	4	adantr 271	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> C C_ X )
6		simpr 109	. . 3 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> S C_ C )
7	3	clsss 11985	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ C C_ X /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( ( cls ` J ) ` C ) )
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1181	. 2 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( ( cls ` J ) ` C ) )
9		cldcls 11981	. . 3 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` C ) = C )
10	9	adantr 271	. 2 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` C ) = C )
11	8, 10	sseqtrd 3077	1 |- ( ( C e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   C_ wss 3013   U.cuni 3675   ` cfv 5049   Topctop 11863   Clsdccld 11959   clsccl 11961

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-top 11864  df-cld 11962  df-cls 11964

This theorem is referenced by:  clsss3  11997