Theorem ntrcls0 14310

Description: A subset whose closure has an empty interior also has an empty interior. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrcls0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )

Proof of Theorem ntrcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
2		clscld.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	clsss3 14309	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X )
4	2	sscls 14299	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
5	2	ntrss 14298	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X /\ S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
7	6	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
8		sseq2 3204	. . . 4 |- ( ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) <-> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) ) )
9	8	3ad2ant3 1022	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) <-> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) ) )
10	7, 9	mpbid 147	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) )
11		ss0 3488	. 2 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )
12	10, 11	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   (/)c0 3447   U.cuni 3836   ` cfv 5255   Topctop 14176   intcnt 14272   clsccl 14273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 14177  df-cld 14274  df-ntr 14275  df-cls 14276

This theorem is referenced by: (None)