Theorem ntrcls0 12300

Description: A subset whose closure has an empty interior also has an empty interior. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrcls0	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )

Proof of Theorem ntrcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
2		clscld.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	clsss3 12299	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X )
4	2	sscls 12289	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
5	2	ntrss 12288	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( ( cls ` J ) ` S ) C_ X /\ S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
7	6	3adant3 1001	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
8		sseq2 3121	. . . 4 |- ( ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) <-> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) ) )
9	8	3ad2ant3 1004	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) <-> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) ) )
10	7, 9	mpbid 146	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) )
11		ss0 3403	. 2 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) C_ (/) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )
12	10, 11	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ ( ( int ` J ) ` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = (/) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   (/)c0 3363   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   intcnt 12262   clsccl 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-cld 12264  df-ntr 12265  df-cls 12266

This theorem is referenced by: (None)