Theorem dffun8 5146

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5145. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5145	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		df-mo 2001	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> ( E. y x A y -> E! y x A y ) )
3		vex 2684	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 4731	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
5		pm5.5 241	. . . . . 6 |- ( E. y x A y -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . 5 |- ( x e. dom A -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
7	2, 6	syl5bb 191	. . . 4 |- ( x e. dom A -> ( E* y x A y <-> E! y x A y ) )
8	7	ralbiia 2447	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E! y x A y )
9	8	anbi2i 452	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
10	1, 9	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1997   E*wmo 1998   A.wral 2414   class class class wbr 3924   dom cdm 4534   Rel wrel 4539   Fun wfun 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120

This theorem is referenced by:  funco  5158  funimaexglem  5201  funfveu  5427