ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffun8 Unicode version

Theorem dffun8 5107
Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5106. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffun8  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dffun8
StepHypRef Expression
1 dffun7 5106 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E* y  x A y ) )
2 df-mo 1977 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <-> 
( E. y  x A y  ->  E! y  x A y ) )
3 vex 2658 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43eldm 4694 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y  x A y )
5 pm5.5 241 . . . . . 6  |-  ( E. y  x A y  ->  ( ( E. y  x A y  ->  E! y  x A y )  <->  E! y  x A y ) )
64, 5sylbi 120 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  A  -> 
( ( E. y  x A y  ->  E! y  x A y )  <-> 
E! y  x A y ) )
72, 6syl5bb 191 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  -> 
( E* y  x A y  <->  E! y  x A y ) )
87ralbiia 2421 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  A E* y  x A y  <->  A. x  e.  dom  A E! y  x A y )
98anbi2i 450 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E* y  x A y )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A
y ) )
101, 9bitri 183 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   E.wex 1449    e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   A.wral 2388   class class class wbr 3893   dom cdm 4497   Rel wrel 4502   Fun wfun 5073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-fun 5081
This theorem is referenced by:  funco  5119  funimaexglem  5162  funfveu  5386
  Copyright terms: Public domain W3C validator