Theorem dffun8 5029

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5028. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5028	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		df-mo 1952	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> ( E. y x A y -> E! y x A y ) )
3		vex 2622	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 4621	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
5		pm5.5 240	. . . . . 6 |- ( E. y x A y -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
6	4, 5	sylbi 119	. . . . 5 |- ( x e. dom A -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
7	2, 6	syl5bb 190	. . . 4 |- ( x e. dom A -> ( E* y x A y <-> E! y x A y ) )
8	7	ralbiia 2392	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E! y x A y )
9	8	anbi2i 445	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
10	1, 9	bitri 182	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   E.wex 1426   e. wcel 1438   E!weu 1948   E*wmo 1949   A.wral 2359   class class class wbr 3837   dom cdm 4428   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-fun 5004

This theorem is referenced by:  funco  5040  funimaexglem  5083  funfveu  5302