Theorem dffun8 5107

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5106. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5106	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		df-mo 1977	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> ( E. y x A y -> E! y x A y ) )
3		vex 2658	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 4694	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
5		pm5.5 241	. . . . . 6 |- ( E. y x A y -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . 5 |- ( x e. dom A -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
7	2, 6	syl5bb 191	. . . 4 |- ( x e. dom A -> ( E* y x A y <-> E! y x A y ) )
8	7	ralbiia 2421	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E! y x A y )
9	8	anbi2i 450	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
10	1, 9	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1449   e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   A.wral 2388   class class class wbr 3893   dom cdm 4497   Rel wrel 4502   Fun wfun 5073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-fun 5081

This theorem is referenced by:  funco  5119  funimaexglem  5162  funfveu  5386