Theorem funfveu 5483

Description: A function has one value given an argument in its domain. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfveu	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funfveu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. dom F <-> A e. dom F ) )
2	1	anbi2d 460	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( Fun F /\ x e. dom F ) <-> ( Fun F /\ A e. dom F ) ) )
3		breq1 3970	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
4	3	eubidv 2014	. . . 4 |- ( x = A -> ( E! y x F y <-> E! y A F y ) )
5	2, 4	imbi12d 233	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> E! y x F y ) <-> ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y ) ) )
6		dffun8 5200	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x e. dom F E! y x F y ) )
7	6	simprbi 273	. . . 4 |- ( Fun F -> A. x e. dom F E! y x F y )
8	7	r19.21bi 2545	. . 3 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> E! y x F y )
9	5, 8	vtoclg 2772	. 2 |- ( A e. dom F -> ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y ) )
10	9	anabsi7 571	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   E!weu 2006   e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3967   dom cdm 4588   Rel wrel 4593   Fun wfun 5166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-fun 5174

This theorem is referenced by:  funfvex  5487