Theorem funfveu 5442

Description: A function has one value given an argument in its domain. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfveu	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funfveu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. dom F <-> A e. dom F ) )
2	1	anbi2d 460	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( Fun F /\ x e. dom F ) <-> ( Fun F /\ A e. dom F ) ) )
3		breq1 3940	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
4	3	eubidv 2008	. . . 4 |- ( x = A -> ( E! y x F y <-> E! y A F y ) )
5	2, 4	imbi12d 233	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> E! y x F y ) <-> ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y ) ) )
6		dffun8 5159	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x e. dom F E! y x F y ) )
7	6	simprbi 273	. . . 4 |- ( Fun F -> A. x e. dom F E! y x F y )
8	7	r19.21bi 2523	. . 3 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> E! y x F y )
9	5, 8	vtoclg 2749	. 2 |- ( A e. dom F -> ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y ) )
10	9	anabsi7 571	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   E!weu 2000   A.wral 2417   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   Rel wrel 4552   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  funfvex  5446