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Theorem funco 5210
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )

Proof of Theorem funco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4855 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  G )  C_ 
dom  G
2 funmo 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  E* y 
z F y )
32alrimiv 1854 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. z E* y  z F
y )
43ralrimivw 2531 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  dom  G A. z E* y  z F
y )
5 dffun8 5198 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x  e.  dom  G E! z  x G z ) )
65simprbi 273 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. x  e.  dom  G E! z  x G z )
74, 6anim12ci 337 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
8 r19.26 2583 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  <->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
97, 8sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F y ) )
10 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x G z
1110euexex 2091 . . . . . . 7  |-  ( ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
1211ralimi 2520 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
14 ssralv 3192 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  G
)  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) ) )
151, 13, 14mpsyl 65 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
16 df-br 3966 . . . . . . 7  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  o.  G )
)
17 df-co 4595 . . . . . . . 8  |-  ( F  o.  G )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }
1817eleq2i 2224 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x G z  /\  z F y ) } )
19 opabid 4217 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2016, 18, 193bitri 205 . . . . . 6  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2120mobii 2043 . . . . 5  |-  ( E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2221ralbii 2463 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2315, 22sylibr 133 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y )
24 relco 5084 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  G )
2523, 24jctil 310 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  ( F  o.  G
)  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y ) )
26 dffun7 5197 . 2  |-  ( Fun  ( F  o.  G
)  <->  ( Rel  ( F  o.  G )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y  x ( F  o.  G
) y ) )
2725, 26sylibr 133 1  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1333   E.wex 1472   E!weu 2006   E*wmo 2007    e. wcel 2128   A.wral 2435    C_ wss 3102   <.cop 3563   class class class wbr 3965   {copab 4024   dom cdm 4586    o. ccom 4590   Rel wrel 4591   Fun wfun 5164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-fun 5172
This theorem is referenced by:  fnco  5278  f1co  5387  tposfun  6207  casefun  7029  caseinj  7033  caseinl  7035  caseinr  7036  djufun  7048  djuinj  7050  ctssdccl  7055
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