Theorem funco 5357

Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funco	|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Proof of Theorem funco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4993	. . . . 5 |- dom ( F o. G ) C_ dom G
2		funmo 5332	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> E* y z F y )
3	2	alrimiv 1920	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. z E* y z F y )
4	3	ralrimivw 2604	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. x e. dom G A. z E* y z F y )
5		dffun8 5345	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x e. dom G E! z x G z ) )
6	5	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. x e. dom G E! z x G z )
7	4, 6	anim12ci 339	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
8		r19.26 2657	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) <-> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) )
10		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ y x G z
11	10	euexex 2163	. . . . . . 7 |- ( ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
12	11	ralimi 2593	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
14		ssralv 3288	. . . . 5 |- ( dom ( F o. G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) ) )
15	1, 13, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
16		df-br 4083	. . . . . . 7 |- ( x ( F o. G ) y <-> <. x , y >. e. ( F o. G ) )
17		df-co 4727	. . . . . . . 8 |- ( F o. G ) = { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) }
18	17	eleq2i 2296	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( F o. G ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } )
19		opabid 4343	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . . . . 6 |- ( x ( F o. G ) y <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
21	20	mobii 2114	. . . . 5 |- ( E* y x ( F o. G ) y <-> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
22	21	ralbii 2536	. . . 4 |- ( A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y <-> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
23	15, 22	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y )
24		relco 5226	. . 3 |- Rel ( F o. G )
25	23, 24	jctil 312	. 2 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
26		dffun7 5344	. 2 |- ( Fun ( F o. G ) <-> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
27	25, 26	sylibr 134	1 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   E.wex 1538   E!weu 2077   E*wmo 2078   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   {copab 4143   dom cdm 4718   o. ccom 4722   Rel wrel 4723   Fun wfun 5311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-fun 5319

This theorem is referenced by:  fnco  5430  f1co  5542  tposfun  6404  casefun  7248  caseinj  7252  caseinl  7254  caseinr  7255  djufun  7267  djuinj  7269  ctssdccl  7274  lidlmex  14433