Theorem funco 5294

Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funco	|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Proof of Theorem funco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4931	. . . . 5 |- dom ( F o. G ) C_ dom G
2		funmo 5269	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> E* y z F y )
3	2	alrimiv 1885	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. z E* y z F y )
4	3	ralrimivw 2568	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. x e. dom G A. z E* y z F y )
5		dffun8 5282	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x e. dom G E! z x G z ) )
6	5	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. x e. dom G E! z x G z )
7	4, 6	anim12ci 339	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
8		r19.26 2620	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) <-> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) )
10		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ y x G z
11	10	euexex 2127	. . . . . . 7 |- ( ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
12	11	ralimi 2557	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
14		ssralv 3243	. . . . 5 |- ( dom ( F o. G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) ) )
15	1, 13, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
16		df-br 4030	. . . . . . 7 |- ( x ( F o. G ) y <-> <. x , y >. e. ( F o. G ) )
17		df-co 4668	. . . . . . . 8 |- ( F o. G ) = { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) }
18	17	eleq2i 2260	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( F o. G ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } )
19		opabid 4286	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . . . . 6 |- ( x ( F o. G ) y <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
21	20	mobii 2079	. . . . 5 |- ( E* y x ( F o. G ) y <-> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
22	21	ralbii 2500	. . . 4 |- ( A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y <-> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
23	15, 22	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y )
24		relco 5164	. . 3 |- Rel ( F o. G )
25	23, 24	jctil 312	. 2 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
26		dffun7 5281	. 2 |- ( Fun ( F o. G ) <-> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
27	25, 26	sylibr 134	1 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   E!weu 2042   E*wmo 2043   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   <.cop 3621   class class class wbr 4029   {copab 4089   dom cdm 4659   o. ccom 4663   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-fun 5256

This theorem is referenced by:  fnco  5362  f1co  5471  tposfun  6313  casefun  7144  caseinj  7148  caseinl  7150  caseinr  7151  djufun  7163  djuinj  7165  ctssdccl  7170  lidlmex  13971