ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funco Unicode version

Theorem funco 5040
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )

Proof of Theorem funco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4690 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  G )  C_ 
dom  G
2 funmo 5017 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  E* y 
z F y )
32alrimiv 1802 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. z E* y  z F
y )
43ralrimivw 2447 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  dom  G A. z E* y  z F
y )
5 dffun8 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x  e.  dom  G E! z  x G z ) )
65simprbi 269 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. x  e.  dom  G E! z  x G z )
74, 6anim12ci 332 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
8 r19.26 2497 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  <->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
97, 8sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F y ) )
10 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x G z
1110euexex 2033 . . . . . . 7  |-  ( ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
1211ralimi 2438 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
14 ssralv 3083 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  G
)  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) ) )
151, 13, 14mpsyl 64 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
16 df-br 3838 . . . . . . 7  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  o.  G )
)
17 df-co 4437 . . . . . . . 8  |-  ( F  o.  G )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }
1817eleq2i 2154 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x G z  /\  z F y ) } )
19 opabid 4075 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2016, 18, 193bitri 204 . . . . . 6  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2120mobii 1985 . . . . 5  |-  ( E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2221ralbii 2384 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2315, 22sylibr 132 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y )
24 relco 4916 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  G )
2523, 24jctil 305 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  ( F  o.  G
)  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y ) )
26 dffun7 5028 . 2  |-  ( Fun  ( F  o.  G
)  <->  ( Rel  ( F  o.  G )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y  x ( F  o.  G
) y ) )
2725, 26sylibr 132 1  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287   E.wex 1426    e. wcel 1438   E!weu 1948   E*wmo 1949   A.wral 2359    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837   {copab 3890   dom cdm 4428    o. ccom 4432   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-fun 5004
This theorem is referenced by:  fnco  5108  f1co  5212  tposfun  6007  casefun  6755  caseinj  6759  djufun  6763  djuinj  6765
  Copyright terms: Public domain W3C validator