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Theorem funco 5238
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )

Proof of Theorem funco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4880 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  G )  C_ 
dom  G
2 funmo 5213 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  E* y 
z F y )
32alrimiv 1867 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. z E* y  z F
y )
43ralrimivw 2544 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  dom  G A. z E* y  z F
y )
5 dffun8 5226 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x  e.  dom  G E! z  x G z ) )
65simprbi 273 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. x  e.  dom  G E! z  x G z )
74, 6anim12ci 337 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
8 r19.26 2596 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  <->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
97, 8sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F y ) )
10 nfv 1521 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x G z
1110euexex 2104 . . . . . . 7  |-  ( ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
1211ralimi 2533 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
14 ssralv 3211 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  G
)  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) ) )
151, 13, 14mpsyl 65 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
16 df-br 3990 . . . . . . 7  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  o.  G )
)
17 df-co 4620 . . . . . . . 8  |-  ( F  o.  G )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }
1817eleq2i 2237 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x G z  /\  z F y ) } )
19 opabid 4242 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2016, 18, 193bitri 205 . . . . . 6  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2120mobii 2056 . . . . 5  |-  ( E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2221ralbii 2476 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2315, 22sylibr 133 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y )
24 relco 5109 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  G )
2523, 24jctil 310 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  ( F  o.  G
)  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y ) )
26 dffun7 5225 . 2  |-  ( Fun  ( F  o.  G
)  <->  ( Rel  ( F  o.  G )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y  x ( F  o.  G
) y ) )
2725, 26sylibr 133 1  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1346   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   dom cdm 4611    o. ccom 4615   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200
This theorem is referenced by:  fnco  5306  f1co  5415  tposfun  6239  casefun  7062  caseinj  7066  caseinl  7068  caseinr  7069  djufun  7081  djuinj  7083  ctssdccl  7088
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