Theorem funco 5210

Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funco	|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Proof of Theorem funco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4855	. . . . 5 |- dom ( F o. G ) C_ dom G
2		funmo 5185	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> E* y z F y )
3	2	alrimiv 1854	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. z E* y z F y )
4	3	ralrimivw 2531	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. x e. dom G A. z E* y z F y )
5		dffun8 5198	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x e. dom G E! z x G z ) )
6	5	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. x e. dom G E! z x G z )
7	4, 6	anim12ci 337	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
8		r19.26 2583	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) <-> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
9	7, 8	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) )
10		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y x G z
11	10	euexex 2091	. . . . . . 7 |- ( ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
12	11	ralimi 2520	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
14		ssralv 3192	. . . . 5 |- ( dom ( F o. G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) ) )
15	1, 13, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
16		df-br 3966	. . . . . . 7 |- ( x ( F o. G ) y <-> <. x , y >. e. ( F o. G ) )
17		df-co 4595	. . . . . . . 8 |- ( F o. G ) = { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) }
18	17	eleq2i 2224	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( F o. G ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } )
19		opabid 4217	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
20	16, 18, 19	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( x ( F o. G ) y <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
21	20	mobii 2043	. . . . 5 |- ( E* y x ( F o. G ) y <-> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
22	21	ralbii 2463	. . . 4 |- ( A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y <-> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
23	15, 22	sylibr 133	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y )
24		relco 5084	. . 3 |- Rel ( F o. G )
25	23, 24	jctil 310	. 2 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
26		dffun7 5197	. 2 |- ( Fun ( F o. G ) <-> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
27	25, 26	sylibr 133	1 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1333   E.wex 1472   E!weu 2006   E*wmo 2007   e. wcel 2128   A.wral 2435   C_ wss 3102   <.cop 3563   class class class wbr 3965   {copab 4024   dom cdm 4586   o. ccom 4590   Rel wrel 4591   Fun wfun 5164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-fun 5172

This theorem is referenced by:  fnco  5278  f1co  5387  tposfun  6207  casefun  7029  caseinj  7033  caseinl  7035  caseinr  7036  djufun  7048  djuinj  7050  ctssdccl  7055