Theorem funco 5163

Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funco	|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Proof of Theorem funco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4808	. . . . 5 |- dom ( F o. G ) C_ dom G
2		funmo 5138	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> E* y z F y )
3	2	alrimiv 1846	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. z E* y z F y )
4	3	ralrimivw 2506	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. x e. dom G A. z E* y z F y )
5		dffun8 5151	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x e. dom G E! z x G z ) )
6	5	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. x e. dom G E! z x G z )
7	4, 6	anim12ci 337	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
8		r19.26 2558	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) <-> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
9	7, 8	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) )
10		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y x G z
11	10	euexex 2084	. . . . . . 7 |- ( ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
12	11	ralimi 2495	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
14		ssralv 3161	. . . . 5 |- ( dom ( F o. G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) ) )
15	1, 13, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
16		df-br 3930	. . . . . . 7 |- ( x ( F o. G ) y <-> <. x , y >. e. ( F o. G ) )
17		df-co 4548	. . . . . . . 8 |- ( F o. G ) = { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) }
18	17	eleq2i 2206	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( F o. G ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } )
19		opabid 4179	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
20	16, 18, 19	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( x ( F o. G ) y <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
21	20	mobii 2036	. . . . 5 |- ( E* y x ( F o. G ) y <-> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
22	21	ralbii 2441	. . . 4 |- ( A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y <-> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
23	15, 22	sylibr 133	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y )
24		relco 5037	. . 3 |- Rel ( F o. G )
25	23, 24	jctil 310	. 2 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
26		dffun7 5150	. 2 |- ( Fun ( F o. G ) <-> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
27	25, 26	sylibr 133	1 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1999   E*wmo 2000   A.wral 2416   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   {copab 3988   dom cdm 4539   o. ccom 4543   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  fnco  5231  f1co  5340  tposfun  6157  casefun  6970  caseinj  6974  caseinl  6976  caseinr  6977  djufun  6989  djuinj  6991  ctssdccl  6996