Theorem funco 5238

Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funco	|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Proof of Theorem funco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4880	. . . . 5 |- dom ( F o. G ) C_ dom G
2		funmo 5213	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> E* y z F y )
3	2	alrimiv 1867	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. z E* y z F y )
4	3	ralrimivw 2544	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. x e. dom G A. z E* y z F y )
5		dffun8 5226	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x e. dom G E! z x G z ) )
6	5	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. x e. dom G E! z x G z )
7	4, 6	anim12ci 337	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
8		r19.26 2596	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) <-> ( A. x e. dom G E! z x G z /\ A. x e. dom G A. z E* y z F y ) )
9	7, 8	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) )
10		nfv 1521	. . . . . . . 8 |- F/ y x G z
11	10	euexex 2104	. . . . . . 7 |- ( ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
12	11	ralimi 2533	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom G ( E! z x G z /\ A. z E* y z F y ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
14		ssralv 3211	. . . . 5 |- ( dom ( F o. G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G E* y E. z ( x G z /\ z F y ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) ) )
15	1, 13, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
16		df-br 3990	. . . . . . 7 |- ( x ( F o. G ) y <-> <. x , y >. e. ( F o. G ) )
17		df-co 4620	. . . . . . . 8 |- ( F o. G ) = { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) }
18	17	eleq2i 2237	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( F o. G ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } )
19		opabid 4242	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. z ( x G z /\ z F y ) } <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
20	16, 18, 19	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( x ( F o. G ) y <-> E. z ( x G z /\ z F y ) )
21	20	mobii 2056	. . . . 5 |- ( E* y x ( F o. G ) y <-> E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
22	21	ralbii 2476	. . . 4 |- ( A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y <-> A. x e. dom ( F o. G ) E* y E. z ( x G z /\ z F y ) )
23	15, 22	sylibr 133	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y )
24		relco 5109	. . 3 |- Rel ( F o. G )
25	23, 24	jctil 310	. 2 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
26		dffun7 5225	. 2 |- ( Fun ( F o. G ) <-> ( Rel ( F o. G ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) E* y x ( F o. G ) y ) )
27	25, 26	sylibr 133	1 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   dom cdm 4611   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  fnco  5306  f1co  5415  tposfun  6239  casefun  7062  caseinj  7066  caseinl  7068  caseinr  7069  djufun  7081  djuinj  7083  ctssdccl  7088