Theorem dffun9 5160

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun9	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5158	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brelrn 4780	. . . . . . 7 |- ( x A y -> y e. ran A )
5	4	pm4.71ri 390	. . . . . 6 |- ( x A y <-> ( y e. ran A /\ x A y ) )
6	5	mobii 2037	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> E* y ( y e. ran A /\ x A y ) )
7		df-rmo 2425	. . . . 5 |- ( E* y e. ran A x A y <-> E* y ( y e. ran A /\ x A y ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> E* y e. ran A x A y )
9	8	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E* y e. ran A x A y )
10	9	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )
11	1, 10	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   E*wmo 2001   A.wral 2417   E*wrmo 2420   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   ran crn 4548   Rel wrel 4552   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rmo 2425  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133

This theorem is referenced by: (None)