Theorem funimaexglem 5131

Description: Lemma for funimaexg 5132. It constitutes the interesting part of funimaexg 5132, in which B C_ dom A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funimaexglem	|- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Proof of Theorem funimaexglem

Dummy variables b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5076	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2	1	simprbi 270	. . . . . . . . 9 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E* y x A y )
3	2	3ad2ant1 967	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. dom A E* y x A y )
4		ssralv 3100	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ dom A -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
5	4	3ad2ant3 969	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. B E* y x A y )
7	6	alrimiv 1809	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. z A. x e. B E* y x A y )
8		sseq1 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = B -> ( b C_ dom A <-> B C_ dom A ) )
9	8	biimpar 292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
10	9	3adant1 964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
11		simp1 946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> Fun A )
12	10, 11	jca 301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( b C_ dom A /\ Fun A ) )
13		dffun8 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
14	13	simprbi 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E! y x A y )
15	14	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. dom A E! y x A y )
16		ssel 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ dom A -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
17	16	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
18		rsp 2434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. dom A E! y x A y -> ( x e. dom A -> E! y x A y ) )
19	15, 17, 18	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> E! y x A y ) )
20	19	ralrimiv 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. b E! y x A y )
21		zfrep6 3977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. b E! y x A y -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
22	12, 20, 21	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
23		raleq 2576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( A. x e. b E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y e. z x A y ) )
24	23	exbidv 1760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = B -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
25	24	3ad2ant2 968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
26	22, 25	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
27	26	3com12 1150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b = B /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
28	27	3expib 1149	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
29	28	vtocleg 2704	. . . . . . . . 9 |- ( B e. C -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
30	29	3impib 1144	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. C /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
31	30	3com12 1150	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
32		df-rex 2376	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( y e. z /\ x A y ) )
33		exancom 1551	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. z /\ x A y ) <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
34	32, 33	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
35	34	ralbii 2395	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
36	35	exbii 1548	. . . . . . 7 |- ( E. z A. x e. B E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
37	31, 36	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
38		19.29 1563	. . . . . . 7 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
39		nfcv 2235	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
40		nfmo1 1967	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E* y x A y
41	39, 40	nfralxy 2425	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E* y x A y
42		nfe1 1437	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E. y ( x A y /\ y e. z )
43	39, 42	nfralxy 2425	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z )
44	41, 43	nfan 1509	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
45		r19.26 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) <-> ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
46		mopick 2033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> ( x A y -> y e. z ) )
47	46	ralimi 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
48	45, 47	sylbir 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
49	44, 48	alrimi 1467	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
50	49	eximi 1543	. . . . . . 7 |- ( E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
51	38, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
52	7, 37, 51	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
53		r19.23v 2494	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
54	53	albii 1411	. . . . . 6 |- ( A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
55	54	exbii 1548	. . . . 5 |- ( E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
56	52, 55	sylib 121	. . . 4 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
57		abss 3105	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
58	57	exbii 1548	. . . 4 |- ( E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
59	56, 58	sylibr 133	. . 3 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
60		dfima2 4809	. . . . 5 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }
61	60	sseq1i 3065	. . . 4 |- ( ( A " B ) C_ z <-> { y | E. x e. B x A y } C_ z )
62	61	exbii 1548	. . 3 |- ( E. z ( A " B ) C_ z <-> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
63	59, 62	sylibr 133	. 2 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z ( A " B ) C_ z )
64		vex 2636	. . . 4 |- z e. _V
65	64	ssex 3997	. . 3 |- ( ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
66	65	exlimiv 1541	. 2 |- ( E. z ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
67	63, 66	syl 14	1 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   A.wal 1294   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   E!weu 1955   E*wmo 1956   {cab 2081   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   "cima 4470   Rel wrel 4472   Fun wfun 5043

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-fun 5051

This theorem is referenced by:  funimaexg  5132