Theorem funimaexglem 5314

Description: Lemma for funimaexg 5315. It constitutes the interesting part of funimaexg 5315, in which B C_ dom A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funimaexglem	|- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Proof of Theorem funimaexglem

Dummy variables b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5258	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2	1	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E* y x A y )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. dom A E* y x A y )
4		ssralv 3234	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ dom A -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
5	4	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. B E* y x A y )
7	6	alrimiv 1885	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. z A. x e. B E* y x A y )
8		sseq1 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = B -> ( b C_ dom A <-> B C_ dom A ) )
9	8	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
10	9	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
11		simp1 999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> Fun A )
12	10, 11	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( b C_ dom A /\ Fun A ) )
13		dffun8 5259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
14	13	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E! y x A y )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. dom A E! y x A y )
16		ssel 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ dom A -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
18		rsp 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. dom A E! y x A y -> ( x e. dom A -> E! y x A y ) )
19	15, 17, 18	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> E! y x A y ) )
20	19	ralrimiv 2562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. b E! y x A y )
21		zfrep6 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. b E! y x A y -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
22	12, 20, 21	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
23		raleq 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( A. x e. b E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y e. z x A y ) )
24	23	exbidv 1836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = B -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
25	24	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
27	26	3com12 1209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b = B /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
28	27	3expib 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
29	28	vtocleg 2823	. . . . . . . . 9 |- ( B e. C -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
30	29	3impib 1203	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. C /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
31	30	3com12 1209	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
32		df-rex 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( y e. z /\ x A y ) )
33		exancom 1619	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. z /\ x A y ) <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
34	32, 33	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
35	34	ralbii 2496	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
36	35	exbii 1616	. . . . . . 7 |- ( E. z A. x e. B E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
37	31, 36	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
38		19.29 1631	. . . . . . 7 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
39		nfcv 2332	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
40		nfmo1 2050	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E* y x A y
41	39, 40	nfralxy 2528	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E* y x A y
42		nfe1 1507	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E. y ( x A y /\ y e. z )
43	39, 42	nfralxy 2528	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z )
44	41, 43	nfan 1576	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
45		r19.26 2616	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) <-> ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
46		mopick 2116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> ( x A y -> y e. z ) )
47	46	ralimi 2553	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
48	45, 47	sylbir 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
49	44, 48	alrimi 1533	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
50	49	eximi 1611	. . . . . . 7 |- ( E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
51	38, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
52	7, 37, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
53		r19.23v 2599	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
54	53	albii 1481	. . . . . 6 |- ( A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
55	54	exbii 1616	. . . . 5 |- ( E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
56	52, 55	sylib 122	. . . 4 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
57		abss 3239	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
58	57	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
59	56, 58	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
60		dfima2 4987	. . . . 5 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }
61	60	sseq1i 3196	. . . 4 |- ( ( A " B ) C_ z <-> { y | E. x e. B x A y } C_ z )
62	61	exbii 1616	. . 3 |- ( E. z ( A " B ) C_ z <-> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
63	59, 62	sylibr 134	. 2 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z ( A " B ) C_ z )
64		vex 2755	. . . 4 |- z e. _V
65	64	ssex 4155	. . 3 |- ( ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
66	65	exlimiv 1609	. 2 |- ( E. z ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
67	63, 66	syl 14	1 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   E!weu 2038   E*wmo 2039   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   dom cdm 4641   "cima 4644   Rel wrel 4646   Fun wfun 5225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-fun 5233

This theorem is referenced by:  funimaexg  5315