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Theorem funimaexglem 5131
Description: Lemma for funimaexg 5132. It constitutes the interesting part of funimaexg 5132, in which  B 
C_  dom  A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funimaexglem  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  ( A " B )  e. 
_V )

Proof of Theorem funimaexglem
Dummy variables  b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun7 5076 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E* y  x A y ) )
21simprbi 270 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
A  ->  A. x  e.  dom  A E* y  x A y )
323ad2ant1 967 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  A. x  e.  dom  A E* y  x A y )
4 ssralv 3100 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  dom  A  ->  ( A. x  e.  dom  A E* y  x A y  ->  A. x  e.  B  E* y  x A y ) )
543ad2ant3 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  ( A. x  e.  dom  A E* y  x A y  ->  A. x  e.  B  E* y  x A y ) )
63, 5mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  A. x  e.  B  E* y  x A y )
76alrimiv 1809 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  A. z A. x  e.  B  E* y  x A
y )
8 sseq1 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  B  ->  (
b  C_  dom  A  <->  B  C_  dom  A ) )
98biimpar 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  b  C_  dom  A )
1093adant1 964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  b  C_ 
dom  A )
11 simp1 946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  Fun  A )
1210, 11jca 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  (
b  C_  dom  A  /\  Fun  A ) )
13 dffun8 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A y ) )
1413simprbi 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
A  ->  A. x  e.  dom  A E! y  x A y )
1514adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  dom  A  /\  Fun  A )  ->  A. x  e.  dom  A E! y  x A y )
16 ssel 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b 
C_  dom  A  ->  ( x  e.  b  ->  x  e.  dom  A ) )
1716adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  dom  A  /\  Fun  A )  ->  (
x  e.  b  ->  x  e.  dom  A ) )
18 rsp 2434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  dom  A E! y  x A y  ->  ( x  e. 
dom  A  ->  E! y  x A y ) )
1915, 17, 18sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  C_  dom  A  /\  Fun  A )  ->  (
x  e.  b  ->  E! y  x A
y ) )
2019ralrimiv 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  C_  dom  A  /\  Fun  A )  ->  A. x  e.  b  E! y  x A y )
21 zfrep6 3977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  b  E! y  x A y  ->  E. z A. x  e.  b  E. y  e.  z  x A y )
2212, 20, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  b  E. y  e.  z  x A y )
23 raleq 2576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  E. y  e.  z  x A y  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A
y ) )
2423exbidv 1760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  B  ->  ( E. z A. x  e.  b  E. y  e.  z  x A y  <->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y ) )
25243ad2ant2 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  ( E. z A. x  e.  b  E. y  e.  z  x A y  <->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y ) )
2622, 25mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  A  /\  b  =  B  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y )
27263com12 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  =  B  /\  Fun  A  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y )
28273expib 1149 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( Fun  A  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A
y ) )
2928vtocleg 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  C  ->  (
( Fun  A  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A
y ) )
30293impib 1144 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  C  /\  Fun  A  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y )
31303com12 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y )
32 df-rex 2376 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  z  x A y  <->  E. y
( y  e.  z  /\  x A y ) )
33 exancom 1551 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( y  e.  z  /\  x A y )  <->  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )
3432, 33bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  z  x A y  <->  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )
3534ralbii 2395 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y  <->  A. x  e.  B  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )
3635exbii 1548 . . . . . . 7  |-  ( E. z A. x  e.  B  E. y  e.  z  x A y  <->  E. z A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z )
)
3731, 36sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) )
38 19.29 1563 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  E. z A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  E. z ( A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) ) )
39 nfcv 2235 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
40 nfmo1 1967 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y E* y  x A y
4139, 40nfralxy 2425 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. x  e.  B  E* y  x A
y
42 nfe1 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y E. y ( x A y  /\  y  e.  z )
4339, 42nfralxy 2425 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z )
4441, 43nfan 1509 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) )
45 r19.26 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  ( E* y  x A
y  /\  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) ) )
46 mopick 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E* y  x A y  /\  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  (
x A y  -> 
y  e.  z ) )
4746ralimi 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  ( E* y  x A
y  /\  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  A. x  e.  B  ( x A y  ->  y  e.  z ) )
4845, 47sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x A
y  /\  A. x  e.  B  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  A. x  e.  B  ( x A y  ->  y  e.  z ) )
4944, 48alrimi 1467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x A
y  /\  A. x  e.  B  E. y
( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  A. y A. x  e.  B  ( x A y  ->  y  e.  z ) )
5049eximi 1543 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  E. z A. y A. x  e.  B  (
x A y  -> 
y  e.  z ) )
5138, 50syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. z A. x  e.  B  E* y  x A y  /\  E. z A. x  e.  B  E. y ( x A y  /\  y  e.  z ) )  ->  E. z A. y A. x  e.  B  (
x A y  -> 
y  e.  z ) )
527, 37, 51syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. y A. x  e.  B  ( x A y  ->  y  e.  z ) )
53 r19.23v 2494 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  (
x A y  -> 
y  e.  z )  <-> 
( E. x  e.  B  x A y  ->  y  e.  z ) )
5453albii 1411 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x  e.  B  ( x A y  ->  y  e.  z )  <->  A. y ( E. x  e.  B  x A y  ->  y  e.  z ) )
5554exbii 1548 . . . . 5  |-  ( E. z A. y A. x  e.  B  (
x A y  -> 
y  e.  z )  <->  E. z A. y ( E. x  e.  B  x A y  ->  y  e.  z ) )
5652, 55sylib 121 . . . 4  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z A. y ( E. x  e.  B  x A
y  ->  y  e.  z ) )
57 abss 3105 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  B  x A
y }  C_  z  <->  A. y ( E. x  e.  B  x A
y  ->  y  e.  z ) )
5857exbii 1548 . . . 4  |-  ( E. z { y  |  E. x  e.  B  x A y }  C_  z 
<->  E. z A. y
( E. x  e.  B  x A y  ->  y  e.  z ) )
5956, 58sylibr 133 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z { y  |  E. x  e.  B  x A y }  C_  z )
60 dfima2 4809 . . . . 5  |-  ( A
" B )  =  { y  |  E. x  e.  B  x A y }
6160sseq1i 3065 . . . 4  |-  ( ( A " B ) 
C_  z  <->  { y  |  E. x  e.  B  x A y }  C_  z )
6261exbii 1548 . . 3  |-  ( E. z ( A " B )  C_  z  <->  E. z { y  |  E. x  e.  B  x A y }  C_  z )
6359, 62sylibr 133 . 2  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  E. z
( A " B
)  C_  z )
64 vex 2636 . . . 4  |-  z  e. 
_V
6564ssex 3997 . . 3  |-  ( ( A " B ) 
C_  z  ->  ( A " B )  e. 
_V )
6665exlimiv 1541 . 2  |-  ( E. z ( A " B )  C_  z  ->  ( A " B
)  e.  _V )
6763, 66syl 14 1  |-  ( ( Fun  A  /\  B  e.  C  /\  B  C_  dom  A )  ->  ( A " B )  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927   A.wal 1294    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   E!weu 1955   E*wmo 1956   {cab 2081   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633    C_ wss 3013   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   "cima 4470   Rel wrel 4472   Fun wfun 5043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-fun 5051
This theorem is referenced by:  funimaexg  5132
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