Theorem dfima2 5007

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4672	. 2 |- ( A " B ) = ran ( A |` B )
2		dfrn2 4850	. 2 |- ran ( A |` B ) = { y | E. x x ( A |` B ) y }
3		vex 2763	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	brres 4948	. . . . . 6 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x A y /\ x e. B ) )
5		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x A y ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x e. B /\ x A y ) )
7	6	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
8		df-rex 2478	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
9	7, 8	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x e. B x A y )
10	9	abbii 2309	. 2 |- { y | E. x x ( A |` B ) y } = { y | E. x e. B x A y }
11	1, 2, 10	3eqtri 2218	1 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   ran crn 4660   |` cres 4661   "cima 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672

This theorem is referenced by:  dfima3  5008  elimag  5009  imasng  5030  imadiflem  5333  imadif  5334  imainlem  5335  imain  5336  funimaexglem  5337  dfimafn  5605  isoini  5861