Theorem dfima2 4955

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4624	. 2 |- ( A " B ) = ran ( A |` B )
2		dfrn2 4799	. 2 |- ran ( A |` B ) = { y | E. x x ( A |` B ) y }
3		vex 2733	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	brres 4897	. . . . . 6 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x A y /\ x e. B ) )
5		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x A y ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x e. B /\ x A y ) )
7	6	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
8		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
9	7, 8	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x e. B x A y )
10	9	abbii 2286	. 2 |- { y | E. x x ( A |` B ) y } = { y | E. x e. B x A y }
11	1, 2, 10	3eqtri 2195	1 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  dfima3  4956  elimag  4957  imasng  4976  imadiflem  5277  imadif  5278  imainlem  5279  imain  5280  funimaexglem  5281  dfimafn  5545  isoini  5797