Theorem dfima2 4948

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4617	. 2 |- ( A " B ) = ran ( A |` B )
2		dfrn2 4792	. 2 |- ran ( A |` B ) = { y | E. x x ( A |` B ) y }
3		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	brres 4890	. . . . . 6 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x A y /\ x e. B ) )
5		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x A y ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x e. B /\ x A y ) )
7	6	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
8		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
9	7, 8	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x e. B x A y )
10	9	abbii 2282	. 2 |- { y | E. x x ( A |` B ) y } = { y | E. x e. B x A y }
11	1, 2, 10	3eqtri 2190	1 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   ran crn 4605   |` cres 4606   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  dfima3  4949  elimag  4950  imasng  4969  imadiflem  5267  imadif  5268  imainlem  5269  imain  5270  funimaexglem  5271  dfimafn  5535  isoini  5786