Theorem dfima2 4878

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4547	. 2 |- ( A " B ) = ran ( A |` B )
2		dfrn2 4722	. 2 |- ran ( A |` B ) = { y | E. x x ( A |` B ) y }
3		vex 2684	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	brres 4820	. . . . . 6 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x A y /\ x e. B ) )
5		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x A y ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x e. B /\ x A y ) )
7	6	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
8		df-rex 2420	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
9	7, 8	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x e. B x A y )
10	9	abbii 2253	. 2 |- { y | E. x x ( A |` B ) y } = { y | E. x e. B x A y }
11	1, 2, 10	3eqtri 2162	1 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2123   E.wrex 2415   class class class wbr 3924   ran crn 4535   |` cres 4536   "cima 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547

This theorem is referenced by:  dfima3  4879  elimag  4880  imasng  4899  imadiflem  5197  imadif  5198  imainlem  5199  imain  5200  funimaexglem  5201  dfimafn  5463  isoini  5712