Theorem imai 4895

Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imai	|- ( _I " A ) = A

Proof of Theorem imai

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 4884	. 2 |- ( _I " A ) = { y | E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) }
2		df-br 3930	. . . . . . . 8 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
3		vex 2689	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4	3	ideq 4691	. . . . . . . 8 |- ( x _I y <-> x = y )
5	2, 4	bitr3i 185	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
6	5	anbi2i 452	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> ( x e. A /\ x = y ) )
7		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x = y ) <-> ( x = y /\ x e. A ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> ( x = y /\ x e. A ) )
9	8	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> E. x ( x = y /\ x e. A ) )
10		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11	3, 10	ceqsexv 2725	. . . 4 |- ( E. x ( x = y /\ x e. A ) <-> y e. A )
12	9, 11	bitri 183	. . 3 |- ( E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> y e. A )
13	12	abbii 2255	. 2 |- { y | E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) } = { y | y e. A }
14		abid2 2260	. 2 |- { y | y e. A } = A
15	1, 13, 14	3eqtri 2164	1 |- ( _I " A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   <.cop 3530   class class class wbr 3929   _I cid 4210   "cima 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552

This theorem is referenced by:  rnresi  4896  cnvresid  5197  ecidsn  6476