Theorem imadmrn 5111

Description: The image of the domain of a class is the range of the class. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- ( A " dom A ) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2816	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opeldm 4959	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. dom A )
4	3	pm4.71i 391	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) )
5		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) <-> ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> <. x , y >. e. A )
7	6	exbii 1654	. . 3 |- ( E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> E. x <. x , y >. e. A )
8	7	abbii 2348	. 2 |- { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) } = { y | E. x <. x , y >. e. A }
9		dfima3 5104	. 2 |- ( A " dom A ) = { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) }
10		dfrn3 4944	. 2 |- ran A = { y | E. x <. x , y >. e. A }
11	8, 9, 10	3eqtr4i 2263	1 |- ( A " dom A ) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   {cab 2218   <.cop 3692   dom cdm 4749   ran crn 4750   "cima 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762

This theorem is referenced by:  cnvimarndm  5126  foima  5595  fimadmfo  5599  f1imacnv  5631  fsn2  5851  resfunexg  5905  funiunfvdm  5936  fnexALT  6304  uniqs2  6829  mapsnd  6923  mapsn  6925  phplem4  7109  phplem4on  7122  retopbas  15388