Theorem imadmrn 4891

Description: The image of the domain of a class is the range of the class. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- ( A " dom A ) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2689	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opeldm 4742	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. dom A )
4	3	pm4.71i 388	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) )
5		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) <-> ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) )
6	4, 5	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> <. x , y >. e. A )
7	6	exbii 1584	. . 3 |- ( E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> E. x <. x , y >. e. A )
8	7	abbii 2255	. 2 |- { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) } = { y | E. x <. x , y >. e. A }
9		dfima3 4884	. 2 |- ( A " dom A ) = { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) }
10		dfrn3 4728	. 2 |- ran A = { y | E. x <. x , y >. e. A }
11	8, 9, 10	3eqtr4i 2170	1 |- ( A " dom A ) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   <.cop 3530   dom cdm 4539   ran crn 4540   "cima 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552

This theorem is referenced by:  cnvimarndm  4903  foima  5350  f1imacnv  5384  fsn2  5594  resfunexg  5641  funiunfvdm  5664  fnexALT  6011  uniqs2  6489  mapsn  6584  phplem4  6749  phplem4on  6761  retopbas  12692