Theorem imadmrn 4963

Description: The image of the domain of a class is the range of the class. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- ( A " dom A ) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2733	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opeldm 4814	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. dom A )
4	3	pm4.71i 389	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) )
5		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) <-> ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) )
6	4, 5	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> <. x , y >. e. A )
7	6	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> E. x <. x , y >. e. A )
8	7	abbii 2286	. 2 |- { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) } = { y | E. x <. x , y >. e. A }
9		dfima3 4956	. 2 |- ( A " dom A ) = { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) }
10		dfrn3 4800	. 2 |- ran A = { y | E. x <. x , y >. e. A }
11	8, 9, 10	3eqtr4i 2201	1 |- ( A " dom A ) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   <.cop 3586   dom cdm 4611   ran crn 4612   "cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  cnvimarndm  4975  foima  5425  f1imacnv  5459  fsn2  5670  resfunexg  5717  funiunfvdm  5742  fnexALT  6090  uniqs2  6573  mapsn  6668  phplem4  6833  phplem4on  6845  retopbas  13317