Theorem imadmrn 5078

Description: The image of the domain of a class is the range of the class. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- ( A " dom A ) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2802	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opeldm 4926	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. dom A )
4	3	pm4.71i 391	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) )
5		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) <-> ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> <. x , y >. e. A )
7	6	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> E. x <. x , y >. e. A )
8	7	abbii 2345	. 2 |- { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) } = { y | E. x <. x , y >. e. A }
9		dfima3 5071	. 2 |- ( A " dom A ) = { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) }
10		dfrn3 4911	. 2 |- ran A = { y | E. x <. x , y >. e. A }
11	8, 9, 10	3eqtr4i 2260	1 |- ( A " dom A ) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   <.cop 3669   dom cdm 4719   ran crn 4720   "cima 4722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732

This theorem is referenced by:  cnvimarndm  5092  foima  5555  fimadmfo  5559  f1imacnv  5591  fsn2  5811  resfunexg  5864  funiunfvdm  5893  fnexALT  6262  uniqs2  6750  mapsn  6845  phplem4  7024  phplem4on  7037  retopbas  15212