Theorem tgiun 15097

Description: The indexed union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgiun	|- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem tgiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5034	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	rnmptss 5860	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran ( x e. A |-> C ) C_ B )
5		eltg3i 15080	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ran ( x e. A |-> C ) C_ B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
7	2, 6	eqeltrd 2315	1 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   U.cuni 3930   U_ciun 4007   |-> cmpt 4187   ran crn 4770   ` cfv 5372   topGenctg 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-topgen 13591

This theorem is referenced by:  txbasval  15291