Theorem tgiun 14487

Description: The indexed union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgiun	|- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem tgiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 4934	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
3		eqid 2204	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	rnmptss 5740	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran ( x e. A |-> C ) C_ B )
5		eltg3i 14470	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ran ( x e. A |-> C ) C_ B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
7	2, 6	eqeltrd 2281	1 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   U.cuni 3849   U_ciun 3926   |-> cmpt 4104   ran crn 4675   ` cfv 5270   topGenctg 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-topgen 13034

This theorem is referenced by:  txbasval  14681