Theorem tgiun 15064

Description: The indexed union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgiun	|- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem tgiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5019	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
3		eqid 2234	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	rnmptss 5843	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran ( x e. A |-> C ) C_ B )
5		eltg3i 15047	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ran ( x e. A |-> C ) C_ B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
7	2, 6	eqeltrd 2311	1 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   U.cuni 3919   U_ciun 3996   |-> cmpt 4176   ran crn 4755   ` cfv 5357   topGenctg 13551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-topgen 13557

This theorem is referenced by:  txbasval  15258