Theorem dmmptd 5489

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
2	1	dmmpt 5258	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
3		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
4	3	elexd 2827	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
5	4	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
6		rabid2 2721	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
7	5, 6	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
8	2, 7	eqtr4id 2284	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   |-> cmpt 4171   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762

This theorem is referenced by:  ccatalpha  11301  4sqlemffi  13094  limccnp2cntop  15542  incistruhgr  16085