Theorem dmmptd 5338

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
2	1	dmmpt 5116	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
3		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
4	3	elexd 2748	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
5	4	ralrimiva 2548	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
6		rabid2 2651	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
7	5, 6	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
8	2, 7	eqtr4id 2227	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   |-> cmpt 4059   dom cdm 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  13717