Theorem dmmptd 5293

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
2	1	dmmpt 5074	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
3		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
4	3	elexd 2722	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
5	4	ralrimiva 2527	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
6		rabid2 2630	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
7	5, 6	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
8	2, 7	eqtr4id 2206	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   {crab 2436   _Vcvv 2709   |-> cmpt 4021   dom cdm 4579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12993