Theorem dmmptd 5209

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
2	1	elexd 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
3	2	ralrimiva 2477	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
4		rabid2 2579	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
6		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
7	6	dmmpt 4990	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
8	5, 7	syl6reqr 2164	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   {crab 2392   _Vcvv 2655   |-> cmpt 3947   dom cdm 4497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12596