Theorem dmmptd 5391

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
2	1	dmmpt 5166	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
3		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
4	3	elexd 2776	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
5	4	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
6		rabid2 2674	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
7	5, 6	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
8	2, 7	eqtr4id 2248	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677

This theorem is referenced by:  4sqlemffi  12590  limccnp2cntop  14997