Theorem dmmpt 5136

Description: The domain of the mapping operation in general. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpo.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
dmmpt	|- dom F = { x e. A | B e. _V }

Proof of Theorem dmmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 4831	. 2 |- dom F = ran `' F
2		dfrn4 5101	. 2 |- ran `' F = ( `' F " _V )
3		dmmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptpreima 5134	. 2 |- ( `' F " _V ) = { x e. A | B e. _V }
5	1, 2, 4	3eqtri 2212	1 |- dom F = { x e. A | B e. _V }

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2158   {crab 2469   _Vcvv 2749   |-> cmpt 4076   `'ccnv 4637   dom cdm 4638   ran crn 4639   "cima 4641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651

This theorem is referenced by:  dmmptss  5137  dmmptg  5138  dmmptd  5358  fvmptssdm  5613  isnumi  7194  dvrecap  14448