Theorem dmmptd 5463

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 5232	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4	3	elexd 2816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
5	4	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6		rabid2 2710	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
8	2, 7	eqtr4id 2283	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738

This theorem is referenced by:  ccatalpha  11189  4sqlemffi  12968  limccnp2cntop  15400  incistruhgr  15940