ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmptd GIF version

Theorem dmmptd 5259
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptd.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptd.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptd (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd
StepHypRef Expression
1 dmmptd.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
21dmmpt 5040 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
3 dmmptd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
43elexd 2702 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
54ralrimiva 2508 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
6 rabid2 2610 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
75, 6sylibr 133 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
82, 7eqtr4id 2192 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2689  cmpt 3995  dom cdm 4545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12847
  Copyright terms: Public domain W3C validator