Theorem dmmptd 5209

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
3	2	ralrimiva 2477	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
4		rabid2 2579	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
6		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
7	6	dmmpt 4990	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
8	5, 7	syl6reqr 2164	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∀wral 2388  {crab 2392  Vcvv 2655   ↦ cmpt 3947  dom cdm 4497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12596