ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmptd GIF version

Theorem dmmptd 5209
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptd.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptd.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptd (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd
StepHypRef Expression
1 dmmptd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
21elexd 2668 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
32ralrimiva 2477 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
4 rabid2 2579 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
53, 4sylibr 133 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
6 dmmptd.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
76dmmpt 4990 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
85, 7syl6reqr 2164 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  {crab 2392  Vcvv 2655  cmpt 3947  dom cdm 4497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12596
  Copyright terms: Public domain W3C validator