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Theorem limccnp2cntop 13715
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2cntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    x, X    x, A    x, Y    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables  d  e  f  g  j  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 13601 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 txtopon 13331 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
53, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
6 limccnp2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
7 limccnp2.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
8 xpss12 4727 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
10 resttopon 13240 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
115, 9, 10sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
121, 11eqeltrid 2262 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
133a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
14 limccnp2.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
15 cnpf2 13276 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
172cntoptop 13602 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
19 txtop 13329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
21 cnex 7910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
2322, 6ssexd 4138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
2422, 7ssexd 4138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 xpexg 4734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
27 resttop 13239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( X  X.  Y
)  e.  _V )  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e. 
Top )
2820, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e. 
Top )
291, 28eqeltrid 2262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
30 toptopon2 13086 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3129, 30sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
32 cnprcl2k 13275 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  Top  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )  ->  <. C ,  D >.  e. 
U. J )
3331, 18, 14, 32syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
34 toponuni 13082 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
3512, 34syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
3633, 35eleqtrrd 2255 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
37 opelxp 4650 . . . . 5  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
3836, 37sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
3938simpld 112 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
4038simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
4116, 39, 40fovcdmd 6009 . 2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  CC )
42 txrest 13345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( Kt  X )  tX  ( Kt  Y ) ) )
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( Kt  X ) 
tX  ( Kt  Y ) ) )
441, 43eqtrid 2220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( Kt  X )  tX  ( Kt  Y ) ) )
45 cnxmet 13600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
46 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )
47 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )
4846, 2, 47metrest 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  X  C_  CC )  -> 
( Kt  X )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
4945, 6, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  X )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
50 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )
51 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
5250, 2, 51metrest 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  Y  C_  CC )  -> 
( Kt  Y )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5345, 7, 52sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  Y )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5449, 53oveq12d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  X ) 
tX  ( Kt  Y ) )  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
5544, 54eqtrd 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
5655oveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  CnP  K ) )
5756fveq1d 5509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  =  ( ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )
5814, 57eleqtrd 2254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )
59 xmetres2 13448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  X  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
6045, 6, 59sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
61 xmetres2 13448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  Y  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
6245, 7, 61sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
6345a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
6447, 51, 2txmetcnp 13587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )
)  ->  ( H  e.  ( ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. )  <->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) ) )
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. )  <->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) ) )
6658, 65mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )
6766simprd 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) )
6867r19.21bi 2563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) )
69 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  ph )
70 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  -> 
j  e.  RR+ )
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
72 eqid 2175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
7472, 73dmmptd 5338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
75 limcrcl 13696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7776simp2d 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7874, 77eqsstrrd 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7976simp3d 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
806adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8180, 73sseldd 3154 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
8278, 79, 81limcmpted 13701 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) ) )
8371, 82mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) ) )
8483simprd 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
8584r19.21bi 2563 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  j
) )
8669, 70, 85syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
8769adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  ph )
88 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  j  e.  RR+ )
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
907adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
9290, 91sseldd 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9378, 79, 92limcmpted 13701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( D  e.  CC  /\  A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) ) )
9489, 93mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\ 
A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) ) )
9594simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) )
9695r19.21bi 2563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( S  -  D
) )  <  j
) )
9787, 88, 96syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( S  -  D
) )  <  j
) )
98 simp-5l 543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  ph )
9998, 73sylancom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
10098, 91sylancom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
1016ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  X  C_  CC )
1027ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  Y  C_  CC )
10371ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
10489ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
10514ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )
106 nfv 1526 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )
107 nfv 1526 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  f  e.  RR+
108 nfra1 2506 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
109107, 108nfan 1563 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
)
110106, 109nfan 1563 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )
111 nfv 1526 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  e.  RR+
112 nfra1 2506 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
113111, 112nfan 1563 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
)
114110, 113nfan 1563 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )
115 simp-4r 542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  e  e.  RR+ )
11670ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  j  e.  RR+ )
117 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) )
118117ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) )
119 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  f  e.  RR+ )
120 simplrr 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
121 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  g  e.  RR+ )
122 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) )
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 13714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
12497, 123rexlimddv 2597 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
12586, 124rexlimddv 2597 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e
) )
12668, 125rexlimddv 2597 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
127126ralrimiva 2548 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e
) )
12816adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
129128, 73, 91fovcdmd 6009 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
13078, 79, 129limcmpted 13701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( ( C H D )  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) ) ) )
13141, 127, 130mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735    C_ wss 3127   <.cop 3592   U.cuni 3805   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059    X. cxp 4618   dom cdm 4620    |` cres 4622    o. ccom 4624   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784    < clt 7966    - cmin 8102   # cap 8512   RR+crp 9622   abscabs 10972   ↾t crest 12608   *Metcxmet 13049   MetOpencmopn 13054   Topctop 13064  TopOnctopon 13077    CnP ccnp 13255    tX ctx 13321   lim CC climc 13692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pm 6641  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-rest 12610  df-topgen 12629  df-psmet 13056  df-xmet 13057  df-met 13058  df-bl 13059  df-mopn 13060  df-top 13065  df-topon 13078  df-bases 13110  df-cnp 13258  df-tx 13322  df-limced 13694
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  13732  dvaddxxbr  13734  dvmulxxbr  13735  dvcoapbr  13740
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