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Theorem limccnp2cntop 15400
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x |- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y |- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   ph, x
Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)
Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables d e f g j r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
32cntoptopon 15255 . . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
4 txtopon 14985 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
53, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
6 limccnp2.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
7 limccnp2.y . . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ CC )
8 xpss12 4833 . . . . . . 7 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
10 resttopon 14894 . . . . . 6 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
115, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
121, 11eqeltrid 2318 . . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
133a1i 9 . . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
14 limccnp2.h . . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
15 cnpf2 14930 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1273 . . 3 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
172cntoptop 15256 . . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. Top )
19 txtop 14983 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
21 cnex 8155 . . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
2322, 6ssexd 4229 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. _V )
2422, 7ssexd 4229 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. _V )
25 xpexg 4840 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
27 resttop 14893 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
2820, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
291, 28eqeltrid 2318 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
30 toptopon2 14742 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3129, 30sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
32 cnprcl2k 14929 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
3331, 18, 14, 32syl3anc 1273 . . . . . 6 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
34 toponuni 14738 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
3512, 34syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
3633, 35eleqtrrd 2311 . . . . 5 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
37 opelxp 4755 . . . . 5 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
3836, 37sylib 122 . . . 4 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
3938simpld 112 . . 3 |- ( ph -> C e. X )
4038simprd 114 . . 3 |- ( ph -> D e. Y )
4116, 39, 40fovcdmd 6166 . 2 |- ( ph -> ( C H D ) e. CC )
42 txrest 14999 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
441, 43eqtrid 2276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
45 cnxmet 15254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
46 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) )
47 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) )
4846, 2, 47metrest 15229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
4945, 6, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
50 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) )
51 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) )
5250, 2, 51metrest 15229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
5345, 7, 52sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
5449, 53oveq12d 6035 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
5544, 54eqtrd 2264 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
5655oveq1d 6032 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) )
5756fveq1d 5641 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) = ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
5814, 57eleqtrd 2310 . . . . . . 7 |- ( ph -> H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
59 xmetres2 15102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
6045, 6, 59sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
61 xmetres2 15102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
6245, 7, 61sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
6345a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
6447, 51, 2txmetcnp 15241 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1276 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
6658, 65mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
6766simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
6867r19.21bi 2620 . . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
69 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> ph )
70 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> j e. RR+ )
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
72 eqid 2231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
7472, 73dmmptd 5463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
75 limcrcl 15381 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
7776simp2d 1036 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
7874, 77eqsstrrd 3264 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7976simp3d 1037 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
806adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
8180, 73sseldd 3228 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
8278, 79, 81limcmpted 15386 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) )
8371, 82mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
8483simprd 114 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8584r19.21bi 2620 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8669, 70, 85syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8769adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> ph )
88 simplrl 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
907adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
9290, 91sseldd 3228 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
9378, 79, 92limcmpted 15386 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) )
9489, 93mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
9594simprd 114 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
9695r19.21bi 2620 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
9787, 88, 96syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
98 simp-5l 545 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> ph )
9998, 73sylancom 420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> R e. X )
10098, 91sylancom 420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> S e. Y )
1016ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> X C_ CC )
1027ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> Y C_ CC )
10371ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
10489ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
10514ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
106 nfv 1576 . . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
107 nfv 1576 . . . . . . . . . 10 |- F/ x f e. RR+
108 nfra1 2563 . . . . . . . . . 10 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j )
109107, 108nfan 1613 . . . . . . . . 9 |- F/ x ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
110106, 109nfan 1613 . . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
111 nfv 1576 . . . . . . . . 9 |- F/ x g e. RR+
112 nfra1 2563 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j )
113111, 112nfan 1613 . . . . . . . 8 |- F/ x ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
114110, 113nfan 1613 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
115 simp-4r 544 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> e e. RR+ )
11670ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
117 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
118117ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
119 simplrl 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> f e. RR+ )
120 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
121 simprl 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> g e. RR+ )
122 simprr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 15399 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12497, 123rexlimddv 2655 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12586, 124rexlimddv 2655 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12668, 125rexlimddv 2655 . . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
127126ralrimiva 2605 . 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12816adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
129128, 73, 91fovcdmd 6166 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
13078, 79, 129limcmpted 15386 . 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( ( C H D ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) ) ) )
13141, 127, 130mpbir2and 952 1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   <.cop 3672   U.cuni 3893   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   dom cdm 4725   |` cres 4727   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   < clt 8213   - cmin 8349   # cap 8760   RR+crp 9887   abscabs 11557   ↾t crest 13321   *Metcxmet 14549   MetOpencmopn 14554   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   CnP ccnp 14909   tX ctx 14975   lim CC climc 15377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-pm 6819  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-cnp 14912  df-tx 14976  df-limced 15379
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425  dvcoapbr  15430
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