Theorem limccnp2cntop 14116

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2cntop	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   ph, x

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2cntop

Dummy variables d e f g j r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.j	. . . . 5 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
2		limccnp2cntop.k	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 14002	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
4		txtopon 13732	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
5	3, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
6		limccnp2.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
7		limccnp2.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ CC )
8		xpss12 4733	. . . . . . 7 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
10		resttopon 13641	. . . . . 6 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
11	5, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
12	1, 11	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
13	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
14		limccnp2.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
15		cnpf2 13677	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
17	2	cntoptop 14003	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. Top )
19		txtop 13730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
21		cnex 7934	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
23	22, 6	ssexd 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. _V )
24	22, 7	ssexd 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. _V )
25		xpexg 4740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
27		resttop 13640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
28	20, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
29	1, 28	eqeltrid 2264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
30		toptopon2 13489	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
32		cnprcl2k 13676	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
33	31, 18, 14, 32	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
34		toponuni 13485	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
35	12, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
36	33, 35	eleqtrrd 2257	. . . . 5 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
37		opelxp 4656	. . . . 5 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
38	36, 37	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
39	38	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> C e. X )
40	38	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> D e. Y )
41	16, 39, 40	fovcdmd 6018	. 2 |- ( ph -> ( C H D ) e. CC )
42		txrest 13746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
43	18, 18, 23, 24, 42	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
44	1, 43	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
45		cnxmet 14001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
46		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) )
47		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) )
48	46, 2, 47	metrest 13976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
49	45, 6, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
50		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) )
51		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) )
52	50, 2, 51	metrest 13976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
53	45, 7, 52	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
54	49, 53	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
55	44, 54	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
56	55	oveq1d 5889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) )
57	56	fveq1d 5517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) = ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
58	14, 57	eleqtrd 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
59		xmetres2 13849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
60	45, 6, 59	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
61		xmetres2 13849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
62	45, 7, 61	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
63	45	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
64	47, 51, 2	txmetcnp 13988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
65	60, 62, 63, 38, 64	syl31anc 1241	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
66	58, 65	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
67	66	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
68	67	r19.21bi 2565	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
69		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> ph )
70		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> j e. RR+ )
71		limccnp2.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
72		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
73		limccnp2.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
74	72, 73	dmmptd 5346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
75		limcrcl 14097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
77	76	simp2d 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
78	74, 77	eqsstrrd 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
79	76	simp3d 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
80	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
81	80, 73	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
82	78, 79, 81	limcmpted 14102	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) )
83	71, 82	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
84	83	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
85	84	r19.21bi 2565	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
86	69, 70, 85	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
87	69	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> ph )
88		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
89		limccnp2.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
90	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
91		limccnp2.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
92	90, 91	sseldd 3156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
93	78, 79, 92	limcmpted 14102	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) )
94	89, 93	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
95	94	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
96	95	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
97	87, 88, 96	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
98		simp-5l 543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> ph )
99	98, 73	sylancom 420	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> R e. X )
100	98, 91	sylancom 420	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> S e. Y )
101	6	ad4antr 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> X C_ CC )
102	7	ad4antr 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> Y C_ CC )
103	71	ad4antr 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
104	89	ad4antr 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
105	14	ad4antr 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
106		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
107		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 |- F/ x f e. RR+
108		nfra1 2508	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j )
109	107, 108	nfan 1565	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
110	106, 109	nfan 1565	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
111		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ x g e. RR+
112		nfra1 2508	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j )
113	111, 112	nfan 1565	. . . . . . . 8 |- F/ x ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
114	110, 113	nfan 1565	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
115		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> e e. RR+ )
116	70	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
117		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
118	117	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
119		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> f e. RR+ )
120		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
121		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> g e. RR+ )
122		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
123	99, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122	limccnp2lem 14115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
124	97, 123	rexlimddv 2599	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
125	86, 124	rexlimddv 2599	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
126	68, 125	rexlimddv 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
127	126	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
128	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
129	128, 73, 91	fovcdmd 6018	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
130	78, 79, 129	limcmpted 14102	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( ( C H D ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) ) ) )
131	41, 127, 130	mpbir2and 944	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   <.cop 3595   U.cuni 3809   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   X. cxp 4624   dom cdm 4626   |` cres 4628   o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   < clt 7991   - cmin 8127   # cap 8537   RR+crp 9652   abscabs 11005   ↾_t crest 12687   *Metcxmet 13410   MetOpencmopn 13415   Topctop 13467  TopOnctopon 13480   CnP ccnp 13656   tX ctx 13722   lim CC climc 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-limced 14095

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14133  dvaddxxbr  14135  dvmulxxbr  14136  dvcoapbr  14141