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Theorem limccnp2cntop 14149
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2cntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    x, X    x, A    x, Y    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables  d  e  f  g  j  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 14035 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 txtopon 13765 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
53, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
6 limccnp2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
7 limccnp2.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
8 xpss12 4734 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
10 resttopon 13674 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
115, 9, 10sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
121, 11eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
133a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
14 limccnp2.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
15 cnpf2 13710 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
172cntoptop 14036 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
19 txtop 13763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
21 cnex 7935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
2322, 6ssexd 4144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
2422, 7ssexd 4144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 xpexg 4741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
27 resttop 13673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( X  X.  Y
)  e.  _V )  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e. 
Top )
2820, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e. 
Top )
291, 28eqeltrid 2264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
30 toptopon2 13522 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3129, 30sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
32 cnprcl2k 13709 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  Top  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )  ->  <. C ,  D >.  e. 
U. J )
3331, 18, 14, 32syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
34 toponuni 13518 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
3512, 34syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
3633, 35eleqtrrd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
37 opelxp 4657 . . . . 5  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
3836, 37sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
3938simpld 112 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
4038simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
4116, 39, 40fovcdmd 6019 . 2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  CC )
42 txrest 13779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( Kt  X )  tX  ( Kt  Y ) ) )
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( Kt  X ) 
tX  ( Kt  Y ) ) )
441, 43eqtrid 2222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( Kt  X )  tX  ( Kt  Y ) ) )
45 cnxmet 14034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
46 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )
47 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )
4846, 2, 47metrest 14009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  X  C_  CC )  -> 
( Kt  X )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
4945, 6, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  X )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
50 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )
51 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
5250, 2, 51metrest 14009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  Y  C_  CC )  -> 
( Kt  Y )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5345, 7, 52sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  Y )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5449, 53oveq12d 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  X ) 
tX  ( Kt  Y ) )  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
5544, 54eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
5655oveq1d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  CnP  K ) )
5756fveq1d 5518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  =  ( ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )
5814, 57eleqtrd 2256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )
59 xmetres2 13882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  X  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
6045, 6, 59sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
61 xmetres2 13882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  Y  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
6245, 7, 61sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
6345a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
6447, 51, 2txmetcnp 14021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )
)  ->  ( H  e.  ( ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. )  <->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) ) )
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  CnP  K
) `  <. C ,  D >. )  <->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) ) )
6658, 65mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H : ( X  X.  Y ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )
6766simprd 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) )
6867r19.21bi 2565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  RR+  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) )
69 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  ph )
70 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  -> 
j  e.  RR+ )
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
72 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
7472, 73dmmptd 5347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
75 limcrcl 14130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7776simp2d 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7874, 77eqsstrrd 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7976simp3d 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
806adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8180, 73sseldd 3157 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
8278, 79, 81limcmpted 14135 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) ) )
8371, 82mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) ) )
8483simprd 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
8584r19.21bi 2565 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  j
) )
8669, 70, 85syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
8769adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  ph )
88 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  j  e.  RR+ )
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
907adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
9290, 91sseldd 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9378, 79, 92limcmpted 14135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( D  e.  CC  /\  A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) ) )
9489, 93mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\ 
A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) ) )
9594simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) )
9695r19.21bi 2565 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( S  -  D
) )  <  j
) )
9787, 88, 96syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  E. g  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( S  -  D
) )  <  j
) )
98 simp-5l 543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  ph )
9998, 73sylancom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
10098, 91sylancom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
1016ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  X  C_  CC )
1027ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  Y  C_  CC )
10371ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
10489ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
10514ad4antr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. ) )
106 nfv 1528 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )
107 nfv 1528 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  f  e.  RR+
108 nfra1 2508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
109107, 108nfan 1565 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
)
110106, 109nfan 1565 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )
111 nfv 1528 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  e.  RR+
112 nfra1 2508 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
113111, 112nfan 1565 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
)
114110, 113nfan 1565 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  /\  ( f  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  f )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )
115 simp-4r 542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  e  e.  RR+ )
11670ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  j  e.  RR+ )
117 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) )
118117ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X
) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) )
119 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  f  e.  RR+ )
120 simplrr 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
j ) )
121 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  g  e.  RR+ )
122 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( S  -  D ) )  < 
j ) )
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 14148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  ( S  -  D )
)  <  j )
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
12497, 123rexlimddv 2599 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  X  A. s  e.  Y  ( ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs  o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y
) ) s )  <  j )  -> 
( ( C H D ) ( abs 
o.  -  ) (
r H s ) )  <  e ) ) )  /\  (
f  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  (
( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  <  f )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  j )
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
12586, 124rexlimddv 2599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  RR+  /\  A. r  e.  X  A. s  e.  Y  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( X  X.  X ) ) r )  <  j  /\  ( D ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( Y  X.  Y ) ) s )  <  j
)  ->  ( ( C H D ) ( abs  o.  -  )
( r H s ) )  <  e
) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e
) )
12668, 125rexlimddv 2599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) )
127126ralrimiva 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( (
x #  B  /\  ( abs `  ( x  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e
) )
12816adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
129128, 73, 91fovcdmd 6019 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
13078, 79, 129limcmpted 14135 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( ( C H D )  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. x  e.  A  ( ( x #  B  /\  ( abs `  (
x  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( R H S )  -  ( C H D ) ) )  <  e ) ) ) )
13141, 127, 130mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2738    C_ wss 3130   <.cop 3596   U.cuni 3810   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065    X. cxp 4625   dom cdm 4627    |` cres 4629    o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809    < clt 7992    - cmin 8128   # cap 8538   RR+crp 9653   abscabs 11006   ↾t crest 12688   *Metcxmet 13443   MetOpencmopn 13448   Topctop 13500  TopOnctopon 13513    CnP ccnp 13689    tX ctx 13755   lim CC climc 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-limced 14128
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14166  dvaddxxbr  14168  dvmulxxbr  14169  dvcoapbr  14174
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