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Theorem limccnp2cntop 15542
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x |- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y |- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   ph, x
Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)
Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables d e f g j r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
32cntoptopon 15397 . . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
4 txtopon 15127 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
53, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
6 limccnp2.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
7 limccnp2.y . . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ CC )
8 xpss12 4857 . . . . . . 7 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
10 resttopon 15036 . . . . . 6 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
115, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
121, 11eqeltrid 2319 . . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
133a1i 9 . . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
14 limccnp2.h . . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
15 cnpf2 15072 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1274 . . 3 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
172cntoptop 15398 . . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. Top )
19 txtop 15125 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
21 cnex 8251 . . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
2322, 6ssexd 4250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. _V )
2422, 7ssexd 4250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. _V )
25 xpexg 4864 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
27 resttop 15035 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
2820, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
291, 28eqeltrid 2319 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
30 toptopon2 14884 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3129, 30sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
32 cnprcl2k 15071 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
3331, 18, 14, 32syl3anc 1274 . . . . . 6 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
34 toponuni 14880 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
3512, 34syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
3633, 35eleqtrrd 2312 . . . . 5 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
37 opelxp 4779 . . . . 5 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
3836, 37sylib 122 . . . 4 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
3938simpld 112 . . 3 |- ( ph -> C e. X )
4038simprd 114 . . 3 |- ( ph -> D e. Y )
4116, 39, 40fovcdmd 6199 . 2 |- ( ph -> ( C H D ) e. CC )
42 txrest 15141 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
441, 43eqtrid 2277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) )
45 cnxmet 15396 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
46 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) )
47 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) )
4846, 2, 47metrest 15371 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
4945, 6, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t X ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) )
50 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) )
51 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) )
5250, 2, 51metrest 15371 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
5345, 7, 52sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) )
5449, 53oveq12d 6068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K ↾t X ) tX ( K ↾t Y ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
5544, 54eqtrd 2265 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
5655oveq1d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) )
5756fveq1d 5672 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) = ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
5814, 57eleqtrd 2311 . . . . . . 7 |- ( ph -> H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) )
59 xmetres2 15244 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
6045, 6, 59sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
61 xmetres2 15244 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ Y C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
6245, 7, 61sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
6345a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
6447, 51, 2txmetcnp 15383 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1277 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( H e. ( ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) ) ) CnP K ) ` <. C , D >. ) <-> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) )
6658, 65mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H : ( X X. Y ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
6766simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
6867r19.21bi 2630 . . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. RR+ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
69 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> ph )
70 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> j e. RR+ )
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
72 eqid 2232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
7472, 73dmmptd 5489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
75 limcrcl 15523 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
7776simp2d 1037 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
7874, 77eqsstrrd 3275 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7976simp3d 1038 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
806adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
8180, 73sseldd 3239 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
8278, 79, 81limcmpted 15528 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) )
8371, 82mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
8483simprd 114 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8584r19.21bi 2630 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8669, 70, 85syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. f e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
8769adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> ph )
88 simplrl 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
907adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
9290, 91sseldd 3239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
9378, 79, 92limcmpted 15528 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) )
9489, 93mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. CC /\ A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
9594simprd 114 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. RR+ E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
9695r19.21bi 2630 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. RR+ ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
9787, 88, 96syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. g e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
98 simp-5l 545 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> ph )
9998, 73sylancom 420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> R e. X )
10098, 91sylancom 420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) /\ x e. A ) -> S e. Y )
1016ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> X C_ CC )
1027ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> Y C_ CC )
10371ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
10489ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
10514ad4antr 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
106 nfv 1577 . . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) )
107 nfv 1577 . . . . . . . . . 10 |- F/ x f e. RR+
108 nfra1 2573 . . . . . . . . . 10 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j )
109107, 108nfan 1614 . . . . . . . . 9 |- F/ x ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
110106, 109nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) )
111 nfv 1577 . . . . . . . . 9 |- F/ x g e. RR+
112 nfra1 2573 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j )
113111, 112nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
114110, 113nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) )
115 simp-4r 544 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> e e. RR+ )
11670ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> j e. RR+ )
117 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
118117ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) )
119 simplrl 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> f e. RR+ )
120 simplrr 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) )
121 simprl 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> g e. RR+ )
122 simprr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) )
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 15541 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12497, 123rexlimddv 2665 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) /\ ( f e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < f ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < j ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12586, 124rexlimddv 2665 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( j e. RR+ /\ A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < j /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < j ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < e ) ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12668, 125rexlimddv 2665 . . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
127126ralrimiva 2615 . 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) )
12816adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
129128, 73, 91fovcdmd 6199 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
13078, 79, 129limcmpted 15528 . 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( ( C H D ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < e ) ) ) )
13141, 127, 130mpbir2and 953 1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   <.cop 3692   U.cuni 3914   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   dom cdm 4749   |` cres 4751   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   # cap 8855   RR+crp 9986   abscabs 11682   ↾t crest 13452   *Metcxmet 14684   MetOpencmopn 14689   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051   tX ctx 15117   lim CC climc 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-limced 15521
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  15564  dvaddxxbr  15566  dvmulxxbr  15567  dvcoapbr  15572
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