Theorem elind 3414

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	|- ( ph -> X e. A )
elind.2	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
elind	|- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 |- ( ph -> X e. A )
2		elind.2	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		elin 3412	. 2 |- ( X e. ( A i^i B ) <-> ( X e. A /\ X e. B ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   i^i cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  fnfvimad  5954  elfir  7307  infpwfidom  7551  hashfibclem  11298  ballotfilem2  13280  nninfdclemcl  13391  nninfdclemp1  13393  strslfv2d  13447  bassetsnn  13461  insubm  13845  2idl0  14933  2idl1  14934  aspval  15099  asplss  15100  aspsubrg  15102  baspartn  15242  bastg  15253  isopn3  15317  restbasg  15360  lmss  15438  metrest  15698  tgioo  15746  dvmulxxbr  15894  elply2  15927  pilem3  15976  ppiqsval  16201  ppiqsval2  16202  ppinprm  16221  chtnprm  16223  2sqlem7  16406