Theorem elind 3348

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	|- ( ph -> X e. A )
elind.2	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
elind	|- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 |- ( ph -> X e. A )
2		elind.2	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		elin 3346	. 2 |- ( X e. ( A i^i B ) <-> ( X e. A /\ X e. B ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   i^i cin 3156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163

This theorem is referenced by:  elfir  7039  infpwfidom  7265  nninfdclemcl  12665  nninfdclemp1  12667  strslfv2d  12721  insubm  13117  2idl0  14068  2idl1  14069  baspartn  14286  bastg  14297  isopn3  14361  restbasg  14404  lmss  14482  metrest  14742  tgioo  14790  dvmulxxbr  14938  elply2  14971  pilem3  15019  2sqlem7  15362