Theorem 2sqlem7 15940

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem7	|- Y C_ ( S i^i NN )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem7.2	. 2 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
3	2	reximi 2630	. . . . . 6 |- ( E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
4	3	reximi 2630	. . . . 5 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
5		2sq.1	. . . . . 6 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
6	5	2sqlem2 15934	. . . . 5 |- ( z e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
7	4, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. S )
8		1ne0 9270	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
9		gcdeq0 12628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x gcd y ) = 1 )
12	11	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
13	10, 12	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 = 0 ) )
14	13	necon3bbid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( -. ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 =/= 0 ) )
15	8, 14	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( x = 0 /\ y = 0 ) )
16		zsqcl2 10942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
18	17	nn0red 9517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
19	17	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( x ^ 2 ) )
20		zsqcl2 10942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
22	21	nn0red 9517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
23	21	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( y ^ 2 ) )
24		add20 8713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( y ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
25	18, 19, 22, 23, 24	syl22anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
26		zcn 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> x e. CC )
28		zcn 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
29	28	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> y e. CC )
30		sqeq0 10927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( x ^ 2 ) = 0 <-> x = 0 ) )
31		sqeq0 10927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( ( y ^ 2 ) = 0 <-> y = 0 ) )
32	30, 31	bi2anan9 610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
33	27, 29, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
34	25, 33	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
35	15, 34	mtbird 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 )
36		nn0addcl 9496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
37	16, 20, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
39		elnn0 9463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 <-> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
41	35, 40	ecased 1386	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN )
42		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( z e. NN <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN ) )
43	41, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> z e. NN ) )
44	43	expimpd 363	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN ) )
45	44	rexlimivv 2657	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN )
46	7, 45	elind 3394	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. ( S i^i NN ) )
47	46	abssi 3303	. 2 |- { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) } C_ ( S i^i NN )
48	1, 47	eqsstri 3260	1 |- Y C_ ( S i^i NN )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   =/= wne 2403   E.wrex 2512   i^i cin 3200   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ran crn 4732   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   NNcn 9202   2c2 9253   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ^cexp 10863   abscabs 11637   gcd cgcd 12604   ZZ[_i]cgz 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-gz 13023

This theorem is referenced by:  2sqlem8  15942  2sqlem9  15943