Theorem 2sqlem7 13557

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem7	|- Y C_ ( S i^i NN )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem7.2	. 2 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
3	2	reximi 2562	. . . . . 6 |- ( E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
4	3	reximi 2562	. . . . 5 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
5		2sq.1	. . . . . 6 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
6	5	2sqlem2 13551	. . . . 5 |- ( z e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
7	4, 6	sylibr 133	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. S )
8		1ne0 8921	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
9		gcdeq0 11906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
11		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x gcd y ) = 1 )
12	11	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
13	10, 12	bitr3d 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 = 0 ) )
14	13	necon3bbid 2375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( -. ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 =/= 0 ) )
15	8, 14	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( x = 0 /\ y = 0 ) )
16		zsqcl2 10528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
18	17	nn0red 9164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
19	17	nn0ge0d 9166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( x ^ 2 ) )
20		zsqcl2 10528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
21	20	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
22	21	nn0red 9164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
23	21	nn0ge0d 9166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( y ^ 2 ) )
24		add20 8368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( y ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
25	18, 19, 22, 23, 24	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
26		zcn 9192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
27	26	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> x e. CC )
28		zcn 9192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
29	28	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> y e. CC )
30		sqeq0 10514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( x ^ 2 ) = 0 <-> x = 0 ) )
31		sqeq0 10514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( ( y ^ 2 ) = 0 <-> y = 0 ) )
32	30, 31	bi2anan9 596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
33	27, 29, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
34	25, 33	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
35	15, 34	mtbird 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 )
36		nn0addcl 9145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
37	16, 20, 36	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
38	37	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
39		elnn0 9112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 <-> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
40	38, 39	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
41	35, 40	ecased 1339	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN )
42		eleq1 2228	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( z e. NN <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN ) )
43	41, 42	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> z e. NN ) )
44	43	expimpd 361	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN ) )
45	44	rexlimivv 2588	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN )
46	7, 45	elind 3306	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. ( S i^i NN ) )
47	46	abssi 3216	. 2 |- { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) } C_ ( S i^i NN )
48	1, 47	eqsstri 3173	1 |- Y C_ ( S i^i NN )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   =/= wne 2335   E.wrex 2444   i^i cin 3114   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   ran crn 4604   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   <_ cle 7930   NNcn 8853   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ^cexp 10450   abscabs 10935   gcd cgcd 11871   ZZ[_i]cgz 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-gz 12296

This theorem is referenced by:  2sqlem8  13559  2sqlem9  13560