Theorem 2sqlem7 14471

Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem7	|- Y C_ ( S i^i NN )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem7.2	. 2 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
3	2	reximi 2574	. . . . . 6 |- ( E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
4	3	reximi 2574	. . . . 5 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
5		2sq.1	. . . . . 6 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
6	5	2sqlem2 14465	. . . . 5 |- ( z e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
7	4, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. S )
8		1ne0 8987	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
9		gcdeq0 11978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x gcd y ) = 1 )
12	11	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
13	10, 12	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 = 0 ) )
14	13	necon3bbid 2387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( -. ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 =/= 0 ) )
15	8, 14	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( x = 0 /\ y = 0 ) )
16		zsqcl2 10598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
18	17	nn0red 9230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
19	17	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( x ^ 2 ) )
20		zsqcl2 10598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
22	21	nn0red 9230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
23	21	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( y ^ 2 ) )
24		add20 8431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( y ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
25	18, 19, 22, 23, 24	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
26		zcn 9258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> x e. CC )
28		zcn 9258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
29	28	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> y e. CC )
30		sqeq0 10583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( x ^ 2 ) = 0 <-> x = 0 ) )
31		sqeq0 10583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( ( y ^ 2 ) = 0 <-> y = 0 ) )
32	30, 31	bi2anan9 606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
33	27, 29, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
34	25, 33	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
35	15, 34	mtbird 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 )
36		nn0addcl 9211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
37	16, 20, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
39		elnn0 9178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 <-> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
41	35, 40	ecased 1349	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN )
42		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( z e. NN <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN ) )
43	41, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> z e. NN ) )
44	43	expimpd 363	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN ) )
45	44	rexlimivv 2600	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN )
46	7, 45	elind 3321	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. ( S i^i NN ) )
47	46	abssi 3231	. 2 |- { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) } C_ ( S i^i NN )
48	1, 47	eqsstri 3188	1 |- Y C_ ( S i^i NN )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   =/= wne 2347   E.wrex 2456   i^i cin 3129   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   ran crn 4628   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   <_ cle 7993   NNcn 8919   2c2 8970   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ^cexp 10519   abscabs 11006   gcd cgcd 11943   ZZ[_i]cgz 12367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-gz 12368

This theorem is referenced by:  2sqlem8  14473  2sqlem9  14474