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Theorem restbasg 14347
Description: A subspace topology basis is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbasg |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Proof of Theorem restbasg
Dummy variables a b c u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2771 . . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2 elrest 12860 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( a e. ( B ↾t A ) <-> E. u e. B a = ( u i^i A ) ) )
3 elrest 12860 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( b e. ( B ↾t A ) <-> E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
42, 3anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) ) )
5 reeanv 2664 . . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
64, 5bitr4di 198 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) ) )
7 simplll 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> B e. TopBases )
8 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> u e. B )
9 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> v e. B )
10 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
1110elin1d 3349 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( u i^i v ) )
12 basis2 14227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. B ) /\ ( v e. B /\ c e. ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
137, 8, 9, 11, 12syl22anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
14 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( B e. TopBases /\ A e. _V ) )
1514simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> B e. TopBases )
1614simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> A e. _V )
17 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z e. B )
18 elrestr 12861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V /\ z e. B ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
20 simprrl 539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. z )
21 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2221elin2d 3350 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. A )
2320, 22elind 3345 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( z i^i A ) )
24 simprrr 540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z C_ ( u i^i v ) )
2524ssrind 3387 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
26 eleq2 2257 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( c e. w <-> c e. ( z i^i A ) ) )
27 sseq1 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) <-> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
2826, 27anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) <-> ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
2928rspcev 2865 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) /\ ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3019, 23, 25, 29syl12anc 1247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3113, 30rexlimddv 2616 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3231ralrimiva 2567 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
33 ineq12 3356 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) ) )
34 inindir 3378 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) )
3533, 34eqtr4di 2244 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i v ) i^i A ) )
3635sseq2d 3210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( w C_ ( a i^i b ) <-> w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3736anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3837rexbidv 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3935, 38raleqbidv 2706 . . . . . . 7 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4032, 39syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4140rexlimdvva 2619 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
426, 41sylbid 150 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4342ralrimivv 2575 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
441, 43sylan2 286 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
45 restfn 12857 . . . 4 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
46 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> B e. TopBases )
4746elexd 2773 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> B e. _V )
481adantl 277 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> A e. _V )
49 fnovex 5952 . . . 4 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
5045, 47, 48, 49mp3an2i 1353 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
51 isbasis2g 14224 . . 3 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
5250, 51syl 14 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
5344, 52mpbird 167 1 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   C_ wss 3154   X. cxp 4658   Fn wfn 5250  (class class class)co 5919   ↾t crest 12853   TopBasesctb 14221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-rest 12855  df-bases 14222
This theorem is referenced by:  resttop  14349
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