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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > restbasg | Unicode version |
Description: A subspace topology basis is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
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restbasg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2763 |
. . 3
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2 | elrest 12754 |
. . . . . . 7
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3 | elrest 12754 |
. . . . . . 7
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4 | 2, 3 | anbi12d 473 |
. . . . . 6
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5 | reeanv 2660 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | bitr4di 198 |
. . . . 5
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7 | simplll 533 |
. . . . . . . . . 10
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8 | simplrl 535 |
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9 | simplrr 536 |
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10 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | elin1d 3339 |
. . . . . . . . . 10
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12 | basis2 14025 |
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13 | 7, 8, 9, 11, 12 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . 9
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14 | simplll 533 |
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15 | 14 | simpld 112 |
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16 | 14 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | simprl 529 |
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18 | elrestr 12755 |
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19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . 10
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20 | simprrl 539 |
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21 | simplr 528 |
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22 | 21 | elin2d 3340 |
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23 | 20, 22 | elind 3335 |
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24 | simprrr 540 |
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25 | 24 | ssrind 3377 |
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26 | eleq2 2253 |
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27 | sseq1 3193 |
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28 | 26, 27 | anbi12d 473 |
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29 | 28 | rspcev 2856 |
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30 | 19, 23, 25, 29 | syl12anc 1247 |
. . . . . . . . 9
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31 | 13, 30 | rexlimddv 2612 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | ralrimiva 2563 |
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33 | ineq12 3346 |
. . . . . . . . 9
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34 | inindir 3368 |
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35 | 33, 34 | eqtr4di 2240 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | sseq2d 3200 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | rexbidv 2491 |
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39 | 35, 38 | raleqbidv 2698 |
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40 | 32, 39 | syl5ibrcom 157 |
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41 | 40 | rexlimdvva 2615 |
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42 | 6, 41 | sylbid 150 |
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43 | 42 | ralrimivv 2571 |
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44 | 1, 43 | sylan2 286 |
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45 | restfn 12751 |
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46 | simpl 109 |
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47 | 46 | elexd 2765 |
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48 | 1 | adantl 277 |
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49 | fnovex 5930 |
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50 | 45, 47, 48, 49 | mp3an2i 1353 |
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51 | isbasis2g 14022 |
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52 | 50, 51 | syl 14 |
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53 | 44, 52 | mpbird 167 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-rest 12749 df-bases 14020 |
This theorem is referenced by: resttop 14147 |
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