Theorem bastg 13646

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 2742	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 3592	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3322	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 3839	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 13637	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 169	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3163	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   i^i cin 3130   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   ` cfv 5218   topGenctg 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12714

This theorem is referenced by:  unitg  13647  tgclb  13650  tgtop  13653  tgidm  13659  tgss3  13663  bastop2  13669  tgcn  13793  tgcnp  13794  txopn  13850  txbasval  13852  blssopn  14070  xmettxlem  14094  iooretopg  14113