ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastg Unicode version

Theorem bastg 12814
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3579 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
51, 4elind 3312 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
6 elssuni 3822 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
87ex 114 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
9 eltg 12805 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
108, 9sylibrd 168 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1110ssrdv 3153 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2141    i^i cin 3120    C_ wss 3121   ~Pcpw 3564   U.cuni 3794   ` cfv 5196   topGenctg 12581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-topgen 12587
This theorem is referenced by:  unitg  12815  tgclb  12818  tgtop  12821  tgidm  12827  tgss3  12831  bastop2  12837  tgcn  12961  tgcnp  12962  txopn  13018  txbasval  13020  blssopn  13238  xmettxlem  13262  iooretopg  13281
  Copyright terms: Public domain W3C validator