Theorem bastg 14229

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 2763	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 3616	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3344	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 3863	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 14220	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 169	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3185	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   i^i cin 3152   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   ` cfv 5254   topGenctg 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871

This theorem is referenced by:  unitg  14230  tgclb  14233  tgtop  14236  tgidm  14242  tgss3  14246  bastop2  14252  tgcn  14376  tgcnp  14377  txopn  14433  txbasval  14435  blssopn  14653  xmettxlem  14677  iooretopg  14696