Theorem bastg 14013

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 2755	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 3605	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3335	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 3852	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 14004	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 169	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3176	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   i^i cin 3143   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   ` cfv 5235   topGenctg 12756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12762

This theorem is referenced by:  unitg  14014  tgclb  14017  tgtop  14020  tgidm  14026  tgss3  14030  bastop2  14036  tgcn  14160  tgcnp  14161  txopn  14217  txbasval  14219  blssopn  14437  xmettxlem  14461  iooretopg  14480