Theorem bastg 14855

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 2806	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 3671	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3394	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 3926	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 14846	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 169	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3234	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   i^i cin 3200   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   ` cfv 5333   topGenctg 13400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13406

This theorem is referenced by:  unitg  14856  tgclb  14859  tgtop  14862  tgidm  14868  tgss3  14872  bastop2  14878  tgcn  15002  tgcnp  15003  txopn  15059  txbasval  15061  blssopn  15279  xmettxlem  15303  iooretopg  15322