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Theorem metrest 13300
Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metrest.1 |- D = ( C |` ( Y X. Y ) )
metrest.3 |- J = ( MetOpen ` C )
metrest.4 |- K = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
metrest |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = K )
Proof of Theorem metrest
Dummy variables u r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3347 . . . . . . . . . 10 |- ( u i^i Y ) C_ u
2 metrest.3 . . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( MetOpen ` C )
32elmopn2 13243 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> ( u e. J <-> ( u C_ X /\ A. y e. u E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u ) ) )
43simplbda 382 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. J ) -> A. y e. u E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u )
54adantlr 474 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ u e. J ) -> A. y e. u E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u )
6 ssralv 3211 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u i^i Y ) C_ u -> ( A. y e. u E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u -> A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u ) )
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u )
8 ssrin 3352 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ( ball ` C ) r ) C_ u -> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) )
98reximi 2567 . . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u -> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) )
109ralimi 2533 . . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( y ( ball ` C ) r ) C_ u -> A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) )
117, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) )
12 inss2 3348 . . . . . . . 8 |- ( u i^i Y ) C_ Y
1311, 12jctil 310 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ u e. J ) -> ( ( u i^i Y ) C_ Y /\ A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) ) )
14 sseq1 3170 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i Y ) -> ( x C_ Y <-> ( u i^i Y ) C_ Y ) )
15 sseq2 3171 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u i^i Y ) -> ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x <-> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) ) )
1615rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i Y ) -> ( E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) ) )
1716raleqbi1dv 2673 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i Y ) -> ( A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x <-> A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) ) )
1814, 17anbi12d 470 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i Y ) -> ( ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) <-> ( ( u i^i Y ) C_ Y /\ A. y e. ( u i^i Y ) E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ ( u i^i Y ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 156 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i Y ) -> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) )
2019rexlimdva 2587 . . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i Y ) -> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) )
212mopntop 13238 . . . . . . . . 9 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
2221ad2antrr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> J e. Top )
23 ssel2 3142 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x C_ Y /\ y e. x ) -> y e. Y )
24 ssel2 3142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y C_ X /\ y e. Y ) -> y e. X )
25 rpxr 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
262blopn 13284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` C ) r ) e. J )
27 eleq1a 2242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y ( ball ` C ) r ) e. J -> ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ r e. RR* ) -> ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
29283expa 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ r e. RR* ) -> ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3025, 29sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3130rexlimdva 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3224, 31sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( Y C_ X /\ y e. Y ) ) -> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3332anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3423, 33sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ y e. x ) ) -> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3534anassrs 398 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3635rexlimdva 2587 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) -> ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) -> z e. J ) )
3736adantrd 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) -> ( ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) -> z e. J ) )
3837adantrr 476 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) -> z e. J ) )
3938abssdv 3221 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } C_ J )
40 uniopn 12793 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } C_ J ) -> U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } e. J )
4122, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } e. J )
42 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( y ( ball ` C ) r ) = ( u ( ball ` C ) r ) )
4342ineq1d 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) = ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) )
4443sseq1d 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x <-> ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
4544rexbidv 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
4645rspccv 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> ( u e. x -> E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
4746ad2antll 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
48 ssel 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ Y -> ( u e. x -> u e. Y ) )
49 ssel 3141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y C_ X -> ( u e. Y -> u e. X ) )
50 blcntr 13210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. X /\ r e. RR+ ) -> u e. ( u ( ball ` C ) r ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) )
5251ancld 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
53523expa 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
5453reximdva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ u e. X ) -> ( E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
5554ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> ( u e. X -> ( E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) ) )
5649, 55sylan9r 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( u e. Y -> ( E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) ) )
5748, 56sylan9r 408 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) -> ( u e. x -> ( E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) ) )
5857adantrr 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> ( E. r e. RR+ ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) ) )
5947, 58mpdd 41 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
6042eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( u e. ( y ( ball ` C ) r ) <-> u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) )
6144, 60anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) <-> ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
6261rexbidv 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = u -> ( E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) <-> E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) )
6362rspcev 2834 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. x /\ E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) ) -> E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) )
6463ex 114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. x -> ( E. r e. RR+ ( ( ( u ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( u ( ball ` C ) r ) ) -> E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
6559, 64sylcom 28 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
66 simprl 526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> x C_ Y )
6766sseld 3146 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> u e. Y ) )
6865, 67jcad 305 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x -> ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) ) )
69 elin 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) <-> ( u e. ( y ( ball ` C ) r ) /\ u e. Y ) )
70 ssel2 3142 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) ) -> u e. x )
7169, 70sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ ( u e. ( y ( ball ` C ) r ) /\ u e. Y ) ) -> u e. x )
7271expr 373 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) -> ( u e. Y -> u e. x ) )
7372rexlimivw 2583 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) -> ( u e. Y -> u e. x ) )
7473rexlimivw 2583 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) -> ( u e. Y -> u e. x ) )
7574imp 123 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) -> u e. x )
7668, 75impbid1 141 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x <-> ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) ) )
77 elin 3310 . . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) <-> ( u e. U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } /\ u e. Y ) )
78 eluniab 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } <-> E. z ( u e. z /\ ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) ) )
79 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. z /\ ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) ) <-> ( ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) /\ u e. z ) )
80 anass 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) /\ u e. z ) <-> ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
81 r19.41v 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
8281rexbii 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. y e. x ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
83 r19.41v 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y e. x ( E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
8482, 83bitr2i 184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
8579, 80, 843bitri 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. z /\ ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) ) <-> E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
8685exbii 1598 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( u e. z /\ ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) ) <-> E. z E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
8778, 86bitri 183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } <-> E. z E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
88 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y e. _V
89 blex 13181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` C ) e. _V )
90 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- r e. _V
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> r e. _V )
92 ovexg 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. _V /\ ( ball ` C ) e. _V /\ r e. _V ) -> ( y ( ball ` C ) r ) e. _V )
9388, 89, 91, 92mp3an2ani 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( y ( ball ` C ) r ) e. _V )
94 ineq1 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> ( z i^i Y ) = ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) )
9594sseq1d 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> ( ( z i^i Y ) C_ x <-> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
96 eleq2 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> ( u e. z <-> u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) )
9795, 96anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y ( ball ` C ) r ) -> ( ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) <-> ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
9897ceqsexgv 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y ( ball ` C ) r ) e. _V -> ( E. z ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
9993, 98syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. z ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
10099rexbidv 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. r e. RR+ E. z ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
101 rexcom4 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. r e. RR+ E. z ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. z E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
102100, 101bitr3di 194 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) <-> E. z E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) ) )
103102rexbidv 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) <-> E. y e. x E. z E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) ) )
104 rexcom4 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. y e. x E. z E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. z E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) )
105103, 104bitr2di 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. z E. y e. x E. r e. RR+ ( z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( ( z i^i Y ) C_ x /\ u e. z ) ) <-> E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
10687, 105syl5bb 191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( u e. U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } <-> E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) ) )
107106anbi1d 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( u e. U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } /\ u e. Y ) <-> ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) ) )
10877, 107bitr2id 192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) <-> u e. ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) ) )
109108adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( ( E. y e. x E. r e. RR+ ( ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x /\ u e. ( y ( ball ` C ) r ) ) /\ u e. Y ) <-> u e. ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) ) )
11076, 109bitrd 187 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> ( u e. x <-> u e. ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) ) )
111110eqrdv 2168 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> x = ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) )
112 ineq1 3321 . . . . . . . 8 |- ( u = U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } -> ( u i^i Y ) = ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) )
113112rspceeqv 2852 . . . . . . 7 |- ( ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } e. J /\ x = ( U. { z | ( E. y e. x E. r e. RR+ z = ( y ( ball ` C ) r ) /\ ( z i^i Y ) C_ x ) } i^i Y ) ) -> E. u e. J x = ( u i^i Y ) )
11441, 111, 113syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) -> E. u e. J x = ( u i^i Y ) )
115114ex 114 . . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) -> E. u e. J x = ( u i^i Y ) ) )
11620, 115impbid 128 . . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i Y ) <-> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) )
117 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y C_ X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
11824, 117elind 3312 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ X /\ y e. Y ) -> y e. ( X i^i Y ) )
119 metrest.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( C |` ( Y X. Y ) )
120119blres 13228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) )
121120sseq1d 3176 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) /\ r e. RR* ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
1221213expa 1198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) ) /\ r e. RR* ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
12325, 122sylan2 284 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
124123rexbidva 2467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
125118, 124sylan2 284 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( Y C_ X /\ y e. Y ) ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
126125anassrs 398 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
12723, 126sylan2 284 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( x C_ Y /\ y e. x ) ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
128127anassrs 398 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
129128ralbidva 2466 . . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ x C_ Y ) -> ( A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) )
130129pm5.32da 449 . . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) <-> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( ( y ( ball ` C ) r ) i^i Y ) C_ x ) ) )
131116, 130bitr4d 190 . . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i Y ) <-> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
13221adantr 274 . . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> J e. Top )
133 id 19 . . . . 5 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
1342mopnm 13242 . . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> X e. J )
135 ssexg 4128 . . . . 5 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
136133, 134, 135syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
137 elrest 12586 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J x = ( u i^i Y ) ) )
138132, 136, 137syl2anc 409 . . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( x e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J x = ( u i^i Y ) ) )
139 xmetres2 13173 . . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( C |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
140119, 139eqeltrid 2257 . . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
141 metrest.4 . . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
142141elmopn2 13243 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> ( x e. K <-> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
143140, 142syl 14 . . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( x e. K <-> ( x C_ Y /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
144131, 138, 1433bitr4d 219 . 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( x e. ( J ↾t Y ) <-> x e. K ) )
145144eqrdv 2168 1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   U.cuni 3796   X. cxp 4609   |` cres 4613   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RR*cxr 7953   RR+crp 9610   ↾t crest 12579   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776   MetOpencmopn 12779   Topctop 12789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835
This theorem is referenced by:  resubmet  13342  tgioo2cntop  13343  divcnap  13349  cncfcncntop  13374  limcimolemlt  13427  cnplimcim  13430  cnplimclemr  13432  limccnpcntop  13438  limccnp2cntop  13440
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