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Theorem metrest 12689
Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metrest.1  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
metrest.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metrest.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metrest  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )

Proof of Theorem metrest
Dummy variables  u  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3296 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
2 metrest.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32elmopn2 12632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  (
u  e.  J  <->  ( u  C_  X  /\  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
) ) )
43simplbda 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  J
)  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
54adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
6 ssralv 3161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u ) )
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u )
8 ssrin 3301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
)
98reximi 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
109ralimi 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
117, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
12 inss2 3297 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  C_  Y
1311, 12jctil 310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( u  i^i  Y
)  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
14 sseq1 3120 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  <->  ( u  i^i  Y )  C_  Y
) )
15 sseq2 3121 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
) )
1615rexbidv 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1716raleqbi1dv 2634 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1814, 17anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x )  <->  ( (
u  i^i  Y )  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 156 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) ) )
2019rexlimdva 2549 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
212mopntop 12627 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2221ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
23 ssel2 3092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  Y  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
24 ssel2 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
25 rpxr 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
262blopn 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  C ) r )  e.  J )
27 eleq1a 2211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  e.  J  ->  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
29283expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3025, 29sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3130rexlimdva 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3224, 31sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3332anassrs 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3423, 33sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3534anassrs 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3635rexlimdva 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3736adantrd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3837adantrr 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3938abssdv 3171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  C_  J )
40 uniopn 12182 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  C_  J
)  ->  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J )
4122, 39, 40syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  e.  J
)
42 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y ( ball `  C
) r )  =  ( u ( ball `  C ) r ) )
4342ineq1d 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  =  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
) )
4443sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
4544rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4645rspccv 2786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4746ad2antll 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
48 ssel 3091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  Y  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
49 ssel 3091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
u  e.  Y  ->  u  e.  X )
)
50 blcntr 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) ) )
5251ancld 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
53523expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  u  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  ( ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
5453reximdva 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
5554ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  (
u  e.  X  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5649, 55sylan9r 407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( u  e.  Y  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5748, 56sylan9r 407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5857adantrr 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5947, 58mpdd 41 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
6042eleq2d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
u  e.  ( y ( ball `  C
) r )  <->  u  e.  ( u ( ball `  C ) r ) ) )
6144, 60anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  <-> 
( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6261rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6362rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  x  /\  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
6463ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
6559, 64sylcom 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
66 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  C_  Y )
6766sseld 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
6865, 67jcad 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
69 elin 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  <->  ( u  e.  ( y ( ball `  C ) r )  /\  u  e.  Y
) )
70 ssel2 3092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )  ->  u  e.  x )
7169, 70sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  ( u  e.  (
y ( ball `  C
) r )  /\  u  e.  Y )
)  ->  u  e.  x )
7271expr 372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7372rexlimivw 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7473rexlimivw 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  ->  ( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7574imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  ->  u  e.  x )
7668, 75impbid1 141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
77 elin 3259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
)  <->  ( u  e. 
U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  /\  u  e.  Y
) )
78 eluniab 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) ) )
79 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  /\  u  e.  z ) )
80 anass 398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  /\  u  e.  z
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
81 r19.41v 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8281rexbii 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
) )
83 r19.41v 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8482, 83bitr2i 184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8579, 80, 843bitri 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8685exbii 1584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8778, 86bitri 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
88 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
89 blex 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  C )  e. 
_V )
90 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  r  e. 
_V
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  r  e.  _V )
92 ovexg 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( ball `  C )  e.  _V  /\  r  e. 
_V )  ->  (
y ( ball `  C
) r )  e. 
_V )
9388, 89, 91, 92mp3an2ani 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( y
( ball `  C )
r )  e.  _V )
94 ineq1 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
z  i^i  Y )  =  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )
9594sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
96 eleq2 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  ( y ( ball `  C ) r ) ) )
9795, 96anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
)  <->  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
9897ceqsexgv 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  e. 
_V  ->  ( E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  ( (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) ) ) )
9993, 98syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. z ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) )  <->  ( (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) ) ) )
10099rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
101 rexcom4 2709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
102100, 101bitr3di 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) ) )
103102rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  <->  E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) ) )
104 rexcom4 2709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
105103, 104syl6rbb 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
10687, 105syl5bb 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
107106anbi1d 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
u  e.  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  /\  u  e.  Y )  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
10877, 107syl5rbb 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) ) )
109108adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
)  <->  u  e.  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
11076, 109bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
111110eqrdv 2137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  =  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
112 ineq1 3270 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( u  i^i 
Y )  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) )
113112rspceeqv 2807 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J  /\  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
11441, 111, 113syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
115114ex 114 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
)  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
11620, 115impbid 128 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
117 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
11824, 117elind 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
119 metrest.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
120119blres 12617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  =  ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y ) )
121120sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
1221213expa 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
12325, 122sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
124123rexbidva 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
125118, 124sylan2 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
126125anassrs 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
12723, 126sylan2 284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
128127anassrs 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
129128ralbidva 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
130129pm5.32da 447 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
131116, 130bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
13221adantr 274 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
133 id 19 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
1342mopnm 12631 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  J )
135 ssexg 4067 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
136133, 134, 135syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  Y  e.  _V )
137 elrest 12141 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
138132, 136, 137syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
139 xmetres2 12562 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( C  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
140119, 139eqeltrid 2226 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  Y
) )
141 metrest.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
142141elmopn2 12632 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
143140, 142syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x ) ) )
144131, 138, 1433bitr4d 219 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  x  e.  K ) )
145144eqrdv 2137 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    i^i cin 3070    C_ wss 3071   U.cuni 3736    X. cxp 4537    |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RR*cxr 7811   RR+crp 9453   ↾t crest 12134   *Metcxmet 12163   ballcbl 12165   MetOpencmopn 12168   Topctop 12178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224
This theorem is referenced by:  resubmet  12731  tgioo2cntop  12732  divcnap  12738  cncfcncntop  12763  limcimolemlt  12816  cnplimcim  12819  cnplimclemr  12821  limccnpcntop  12827  limccnp2cntop  12829
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