Theorem isopn3 12919

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	ntrval 12904	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3348	. . . . . . . 8 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3819	. . . . . . 7 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4202	. . . . . . 7 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3181	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) C_ S )
8		id 19	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. J )
9		pwidg 3580	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. ~P S )
10	8, 9	elind 3312	. . . . . 6 |- ( S e. J -> S e. ( J i^i ~P S ) )
11		elssuni 3824	. . . . . 6 |- ( S e. ( J i^i ~P S ) -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( S e. J -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
13	7, 12	eqssd 3164	. . . 4 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) = S )
14	2, 13	sylan9eq 2223	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
15	14	ex 114	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
16	1	ntropn 12911	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
17		eleq1 2233	. . 3 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> ( ( ( int ` J ) ` S ) e. J <-> S e. J ) )
18	16, 17	syl5ibcom 154	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> S e. J ) )
19	15, 18	impbid 128	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   ` cfv 5198   Topctop 12789   intcnt 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-top 12790  df-ntr 12890

This theorem is referenced by:  ntridm  12920  ntrtop  12922  ntr0  12928  isopn3i  12929  cnntr  13019