Theorem isopn3 13710

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	ntrval 13695	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3358	. . . . . . . 8 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3834	. . . . . . 7 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4219	. . . . . . 7 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3191	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) C_ S )
8		id 19	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. J )
9		pwidg 3591	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. ~P S )
10	8, 9	elind 3322	. . . . . 6 |- ( S e. J -> S e. ( J i^i ~P S ) )
11		elssuni 3839	. . . . . 6 |- ( S e. ( J i^i ~P S ) -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( S e. J -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
13	7, 12	eqssd 3174	. . . 4 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) = S )
14	2, 13	sylan9eq 2230	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
16	1	ntropn 13702	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
17		eleq1 2240	. . 3 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> ( ( ( int ` J ) ` S ) e. J <-> S e. J ) )
18	16, 17	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> S e. J ) )
19	15, 18	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3130   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   ` cfv 5218   Topctop 13582   intcnt 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-top 13583  df-ntr 13681

This theorem is referenced by:  ntridm  13711  ntrtop  13713  ntr0  13719  isopn3i  13720  cnntr  13810