Theorem isopn3 12294

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	ntrval 12279	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3297	. . . . . . . 8 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3759	. . . . . . 7 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4139	. . . . . . 7 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3131	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) C_ S )
8		id 19	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. J )
9		pwidg 3524	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. ~P S )
10	8, 9	elind 3261	. . . . . 6 |- ( S e. J -> S e. ( J i^i ~P S ) )
11		elssuni 3764	. . . . . 6 |- ( S e. ( J i^i ~P S ) -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( S e. J -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
13	7, 12	eqssd 3114	. . . 4 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) = S )
14	2, 13	sylan9eq 2192	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
15	14	ex 114	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
16	1	ntropn 12286	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
17		eleq1 2202	. . 3 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> ( ( ( int ` J ) ` S ) e. J <-> S e. J ) )
18	16, 17	syl5ibcom 154	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> S e. J ) )
19	15, 18	impbid 128	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   intcnt 12262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-ntr 12265

This theorem is referenced by:  ntridm  12295  ntrtop  12297  ntr0  12303  isopn3i  12304  cnntr  12394