Theorem isopn3 14597

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	ntrval 14582	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3394	. . . . . . . 8 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3873	. . . . . . 7 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4261	. . . . . . 7 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3227	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) C_ S )
8		id 19	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. J )
9		pwidg 3630	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. ~P S )
10	8, 9	elind 3358	. . . . . 6 |- ( S e. J -> S e. ( J i^i ~P S ) )
11		elssuni 3878	. . . . . 6 |- ( S e. ( J i^i ~P S ) -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( S e. J -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
13	7, 12	eqssd 3210	. . . 4 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) = S )
14	2, 13	sylan9eq 2258	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
16	1	ntropn 14589	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
17		eleq1 2268	. . 3 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> ( ( ( int ` J ) ` S ) e. J <-> S e. J ) )
18	16, 17	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> S e. J ) )
19	15, 18	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   ` cfv 5271   Topctop 14469   intcnt 14565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 14470  df-ntr 14568

This theorem is referenced by:  ntridm  14598  ntrtop  14600  ntr0  14606  isopn3i  14607  cnntr  14697