Theorem isopn3 14919

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U. J
2	1	ntrval 14904	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3430	. . . . . . . 8 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3921	. . . . . . 7 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4315	. . . . . . 7 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3262	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) C_ S )
8		id 19	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. J )
9		pwidg 3670	. . . . . . 7 |- ( S e. J -> S e. ~P S )
10	8, 9	elind 3394	. . . . . 6 |- ( S e. J -> S e. ( J i^i ~P S ) )
11		elssuni 3926	. . . . . 6 |- ( S e. ( J i^i ~P S ) -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( S e. J -> S C_ U. ( J i^i ~P S ) )
13	7, 12	eqssd 3245	. . . 4 |- ( S e. J -> U. ( J i^i ~P S ) = S )
14	2, 13	sylan9eq 2284	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
16	1	ntropn 14911	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
17		eleq1 2294	. . 3 |- ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> ( ( ( int ` J ) ` S ) e. J <-> S e. J ) )
18	16, 17	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` S ) = S -> S e. J ) )
19	15, 18	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   i^i cin 3200   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   ` cfv 5333   Topctop 14791   intcnt 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-top 14792  df-ntr 14890

This theorem is referenced by:  ntridm  14920  ntrtop  14922  ntr0  14928  isopn3i  14929  cnntr  15019