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Theorem tgioo 15141
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
tgioo |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Proof of Theorem tgioo
Dummy variables x y z w a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
21rexmet 15136 . . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3 tgioo.2 . . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
43mopnval 15029 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
52, 4ax-mp 5 . 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6 blex 14974 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( ball ` D ) e. _V )
72, 6ax-mp 5 . . . 4 |- ( ball ` D ) e. _V
87rnex 4965 . . 3 |- ran ( ball ` D ) e. _V
91blssioo 15140 . . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
10 elssuni 3892 . . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
11 unirnioo 10130 . . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
1210, 11sseqtrrdi 3250 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
13 retopbas 15110 . . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
1612sselda 3201 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
17 1re 8106 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
181bl2ioo 15137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
1917, 18mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
20 peano2rem 8374 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
2120rexrd 8157 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
22 peano2re 8243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
2322rexrd 8157 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
24 ioorebasg 10132 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2619, 25eqeltrd 2284 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
29 1rp 9814 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
30 blcntr 15003 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1341 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3328, 32elind 3366 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
34 basis2 14635 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1251 . . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36 ioof 10128 . . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5445 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
38 ovelrn 6118 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
40 eleq2 2271 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
41 sseq1 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
43 inss2 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
44 sstr 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4543, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
47 elioore 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
51 dfss 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
53 eliooxr 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
5421, 23jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
56 iooinsup 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5857adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5952, 58eqtrd 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
60 mnfxr 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
6253adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
6362simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
65 xrmaxcl 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6762simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
6968rexrd 8157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
70 xrmincl 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7167, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
7372adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
74 mnflt 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
76 xrmax2sup 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7763, 64, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
8079, 59eleqtrd 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
81 eliooxr 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) )
82 elex2 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
83 ioom 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) <-> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8482, 83imbitrid 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
87 xrre2 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) /\ ( -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
89 mnfle 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
92 xrmin2inf 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
94 xrre 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
961ioo2blex 15139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9788, 95, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9859, 97eqeltrd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
99 inss1 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
100 sstr 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
10199, 100mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102101adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
103 sseq1 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
10440, 103anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
105104rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
107 blssex 15017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
1082, 48, 107sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
109106, 108mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11042, 109biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
112111rexlimivv 2631 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
113112imp 124 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11439, 113sylanb 284 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115114rexlimiva 2620 . . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117116ralrimiva 2581 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
1183elmopn2 15036 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
12012, 117, 119sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
121120ssriv 3205 . . . 4 |- ran (,) C_ J
122121, 5sseqtri 3235 . . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
123 2basgeng 14669 . . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) e. _V /\ ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
1248, 9, 122, 123mp3an 1350 . 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
1255, 124eqtr2i 2229 1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   {cpr 3644   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   ran crn 4694   |` cres 4695   o. ccom 4697   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   supcsup 7110  infcinf 7111   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   -oocmnf 8140   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   RR+crp 9810   (,)cioo 10045   abscabs 11423   topGenctg 13201   *Metcxmet 14413   ballcbl 14415   MetOpencmopn 14418   TopBasesctb 14629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-bases 14630
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