Theorem tgioo 15419

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z w a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 15414	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 15307	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6		blex 15252	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( ball ` D ) e. _V )
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ball ` D ) e. _V
8	7	rnex 5025	. . 3 |- ran ( ball ` D ) e. _V
9	1	blssioo 15418	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
10		elssuni 3942	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
11		unirnioo 10306	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
12	10, 11	sseqtrrdi 3287	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
13		retopbas 15388	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
15		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
16	12	sselda 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
17		1re 8273	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
18	1	bl2ioo 15415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
19	17, 18	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
20		peano2rem 8540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
21	20	rexrd 8323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
22		peano2re 8409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
23	22	rexrd 8323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
24		ioorebasg 10308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	19, 25	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
27	16, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
29		1rp 9990	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
30		blcntr 15281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
31	2, 29, 30	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	16, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	28, 32	elind 3404	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
34		basis2 14913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
35	14, 15, 27, 33, 34	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36		ioof 10304	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
37		ffn 5508	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
38		ovelrn 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
40		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
41		sseq1 3261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
42	40, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
43		inss2 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
44		sstr 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	43, 44	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
47		elioore 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
49	48, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50	46, 49	sseqtrd 3276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
51		dfss 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52	50, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
53		eliooxr 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
54	21, 23	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
56		iooinsup 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
57	53, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
59	52, 58	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
60		mnfxr 8330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
62	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64	48, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
65		xrmaxcl 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
67	62	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
68	48, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
69	68	rexrd 8323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
70		xrmincl 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
72	47, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
74		mnflt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
76		xrmax2sup 11939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
77	63, 64, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
78	61, 64, 66, 75, 77	xrltletrd 10144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
79		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
80	79, 59	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
81		eliooxr 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) )
82		elex2 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
83		ioom 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) <-> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
84	82, 83	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
85	81, 84	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
86	80, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
87		xrre2 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) /\ ( -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
88	61, 66, 71, 78, 86, 87	syl32anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
89		mnfle 10125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
90	66, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
91	61, 66, 71, 90, 86	xrlelttrd 10143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
92		xrmin2inf 11953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
93	67, 69, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
94		xrre 10153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
95	71, 68, 91, 93, 94	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
96	1	ioo2blex 15417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
97	88, 95, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
98	59, 97	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
99		inss1 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
100		sstr 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
101	99, 100	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
103		sseq1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
104	40, 103	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
105	104	rspcev 2921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
106	98, 79, 102, 105	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
107		blssex 15295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	2, 48, 107	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
109	106, 108	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
110	42, 109	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
112	111	rexlimivv 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
113	112	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	39, 113	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	114	rexlimiva 2655	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
116	35, 115	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117	116	ralrimiva 2615	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
118	3	elmopn2 15314	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
119	2, 118	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
120	12, 117, 119	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
121	120	ssriv 3242	. . . 4 |- ran (,) C_ J
122	121, 5	sseqtri 3272	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
123		2basgeng 14947	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) e. _V /\ ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
124	8, 9, 122, 123	mp3an 1374	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
125	5, 124	eqtr2i 2254	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   i^i cin 3210   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   {cpr 3690   U.cuni 3914   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   ran crn 4750   |` cres 4751   o. ccom 4753   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   supcsup 7273  infcinf 7274   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   RR+crp 9986   (,)cioo 10221   abscabs 11682   topGenctg 13467   *Metcxmet 14684   ballcbl 14686   MetOpencmopn 14689   TopBasesctb 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-bases 14908

This theorem is referenced by:  resubmet  15421  tgioo2cntop  15422  tgioo2  15424