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Theorem tgioo 14483
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
tgioo |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Proof of Theorem tgioo
Dummy variables x y z w a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
21rexmet 14478 . . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3 tgioo.2 . . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
43mopnval 14379 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
52, 4ax-mp 5 . 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6 blex 14324 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( ball ` D ) e. _V )
72, 6ax-mp 5 . . . 4 |- ( ball ` D ) e. _V
87rnex 4909 . . 3 |- ran ( ball ` D ) e. _V
91blssioo 14482 . . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
10 elssuni 3852 . . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
11 unirnioo 9998 . . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
1210, 11sseqtrrdi 3219 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
13 retopbas 14460 . . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
1612sselda 3170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
17 1re 7981 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
181bl2ioo 14479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
1917, 18mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
20 peano2rem 8249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
2120rexrd 8032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
22 peano2re 8118 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
2322rexrd 8032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
24 ioorebasg 10000 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2619, 25eqeltrd 2266 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
29 1rp 9682 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
30 blcntr 14353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1339 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3328, 32elind 3335 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
34 basis2 13985 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1250 . . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36 ioof 9996 . . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5381 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
38 ovelrn 6041 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
40 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
41 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
43 inss2 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
44 sstr 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4543, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
47 elioore 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
51 dfss 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
53 eliooxr 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
5421, 23jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
56 iooinsup 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5857adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5952, 58eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
60 mnfxr 8039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
6253adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
6362simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
65 xrmaxcl 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6762simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
6968rexrd 8032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
70 xrmincl 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7167, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
7372adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
74 mnflt 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
76 xrmax2sup 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7763, 64, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
8079, 59eleqtrd 2268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
81 eliooxr 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) )
82 elex2 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
83 ioom 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) <-> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8482, 83imbitrid 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
87 xrre2 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) /\ ( -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
89 mnfle 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
92 xrmin2inf 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
94 xrre 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
961ioo2blex 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9788, 95, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9859, 97eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
99 inss1 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
100 sstr 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
10199, 100mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102101adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
103 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
10440, 103anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
105104rspcev 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
107 blssex 14367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
1082, 48, 107sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
109106, 108mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11042, 109biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
112111rexlimivv 2613 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
113112imp 124 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11439, 113sylanb 284 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115114rexlimiva 2602 . . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117116ralrimiva 2563 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
1183elmopn2 14386 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
12012, 117, 119sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
121120ssriv 3174 . . . 4 |- ran (,) C_ J
122121, 5sseqtri 3204 . . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
123 2basgeng 14019 . . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) e. _V /\ ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
1248, 9, 122, 123mp3an 1348 . 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
1255, 124eqtr2i 2211 1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   {cpr 3608   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   X. cxp 4639   ran crn 4642   |` cres 4643   o. ccom 4645   Fn wfn 5227   -->wf 5228   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   supcsup 7006  infcinf 7007   RRcr 7835   1c1 7837   + caddc 7839   -oocmnf 8015   RR*cxr 8016   < clt 8017   <_ cle 8018   - cmin 8153   RR+crp 9678   (,)cioo 9913   abscabs 11033   topGenctg 12752   *Metcxmet 13842   ballcbl 13844   MetOpencmopn 13847   TopBasesctb 13979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-map 6671  df-sup 7008  df-inf 7009  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-xneg 9797  df-xadd 9798  df-ioo 9917  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-topgen 12758  df-psmet 13849  df-xmet 13850  df-met 13851  df-bl 13852  df-mopn 13853  df-top 13935  df-bases 13980
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