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Theorem tgioo 12465
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  w  a  b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 12460 . . 3  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 12370 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 7 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
6 blex 12315 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  ( ball `  D )  e. 
_V )
72, 6ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ball `  D )  e.  _V
87rnex 4742 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  e. 
_V
91blssioo 12464 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
10 elssuni 3711 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
11 unirnioo 9597 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
1210, 11syl6sseqr 3096 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
13 retopbas 12445 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
15 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
1612sselda 3047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
17 1re 7637 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
181bl2ioo 12461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1917, 18mpan2 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
20 peano2rem 7900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
2120rexrd 7687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
22 peano2re 7769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2322rexrd 7687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
24 ioorebasg 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2521, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2619, 25eqeltrd 2176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
29 1rp 9295 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
30 blcntr 12344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
3328, 32elind 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
34 basis2 11997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
36 ioof 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
38 ovelrn 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
40 eleq2 2163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
41 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
43 inss2 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
44 sstr 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4543, 44mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4645adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
47 elioore 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4847adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
51 dfss 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
53 eliooxr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5421, 23jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
56 iooinsup 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5857adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5952, 58eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
60 mnfxr 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6253adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6362simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
65 xrmaxcl 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6663, 64, 65syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6762simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6968rexrd 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
70 xrmincl 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7167, 69, 70syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7372adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
74 mnflt 9410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
76 xrmax2sup 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7763, 64, 76syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
79 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
8079, 59eleqtrd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
81 eliooxr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
82 elex2 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
83 ioom 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf
( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  <->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8482, 83syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
87 xrre2 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ 
sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
89 mnfle 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
92 xrmin2inf 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
94 xrre 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -oo  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  + 
1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
961ioo2blex 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9788, 95, 96syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9859, 97eqeltrd 2176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
99 inss1 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
100 sstr 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10199, 100mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
102101adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
103 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10440, 103anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
105104rspcev 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
107 blssex 12358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1082, 48, 107sylancr 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
109106, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
11042, 109syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
112111rexlimivv 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
113112imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11439, 113sylanb 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
115114rexlimiva 2503 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
117116ralrimiva 2464 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1183elmopn2 12377 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1192, 118ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
12012, 117, 119sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
121120ssriv 3051 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
122121, 5sseqtri 3081 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
123 2basgeng 12033 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  e.  _V  /\  ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1248, 9, 122, 123mp3an 1283 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1255, 124eqtr2i 2121 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    i^i cin 3020    C_ wss 3021   ~Pcpw 3457   {cpr 3475   U.cuni 3683   class class class wbr 3875    X. cxp 4475   ran crn 4478    |` cres 4479    o. ccom 4481    Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   supcsup 6784  infcinf 6785   RRcr 7499   1c1 7501    + caddc 7503   -oocmnf 7670   RR*cxr 7671    < clt 7672    <_ cle 7673    - cmin 7804   RR+crp 9291   (,)cioo 9512   abscabs 10609   topGenctg 11917   *Metcxmet 11931   ballcbl 11933   MetOpencmopn 11936   TopBasesctb 11991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-ioo 9516  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-topgen 11923  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-met 11940  df-bl 11941  df-mopn 11942  df-top 11947  df-bases 11992
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