Theorem tgioo 15578

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z w a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 15573	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 15466	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6		blex 15411	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( ball ` D ) e. _V )
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ball ` D ) e. _V
8	7	rnex 5045	. . 3 |- ran ( ball ` D ) e. _V
9	1	blssioo 15577	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
10		elssuni 3958	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
11		unirnioo 10354	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
12	10, 11	sseqtrrdi 3297	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
13		retopbas 15547	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
15		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
16	12	sselda 3248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
17		1re 8315	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
18	1	bl2ioo 15574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
19	17, 18	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
20		peano2rem 8583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
21	20	rexrd 8365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
22		peano2re 8452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
23	22	rexrd 8365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
24		ioorebasg 10356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	21, 23, 24	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	19, 25	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
27	16, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
29		1rp 10037	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
30		blcntr 15440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
31	2, 29, 30	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	16, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	28, 32	elind 3414	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
34		basis2 15072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
35	14, 15, 27, 33, 34	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36		ioof 10352	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
37		ffn 5528	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
38		ovelrn 6228	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
40		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
41		sseq1 3271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
42	40, 41	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
43		inss2 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
44		sstr 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	43, 44	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
47		elioore 10293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
49	48, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50	46, 49	sseqtrd 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
51		dfss 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52	50, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
53		eliooxr 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
54	21, 23	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
56		iooinsup 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
57	53, 55, 56	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
59	52, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
60		mnfxr 8372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
62	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64	48, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
65		xrmaxcl 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
66	63, 64, 65	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
67	62	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
68	48, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
69	68	rexrd 8365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
70		xrmincl 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
71	67, 69, 70	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
72	47, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
74		mnflt 10164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
76		xrmax2sup 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
77	63, 64, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
78	61, 64, 66, 75, 77	xrltletrd 10192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
79		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
80	79, 59	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
81		eliooxr 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) )
82		elex2 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
83		ioom 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) <-> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
84	82, 83	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
85	81, 84	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
86	80, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
87		xrre2 10202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) /\ ( -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
88	61, 66, 71, 78, 86, 87	syl32anc 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
89		mnfle 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
90	66, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
91	61, 66, 71, 90, 86	xrlelttrd 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
92		xrmin2inf 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
93	67, 69, 92	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
94		xrre 10201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
95	71, 68, 91, 93, 94	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
96	1	ioo2blex 15576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
97	88, 95, 96	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
98	59, 97	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
99		inss1 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
100		sstr 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
101	99, 100	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
103		sseq1 3271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
104	40, 103	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
105	104	rspcev 2929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
106	98, 79, 102, 105	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
107		blssex 15454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	2, 48, 107	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
109	106, 108	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
110	42, 109	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
112	111	rexlimivv 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
113	112	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	39, 113	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	114	rexlimiva 2663	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
116	35, 115	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117	116	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
118	3	elmopn2 15473	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
119	2, 118	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
120	12, 117, 119	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
121	120	ssriv 3252	. . . 4 |- ran (,) C_ J
122	121, 5	sseqtri 3282	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
123		2basgeng 15106	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) e. _V /\ ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
124	8, 9, 122, 123	mp3an 1378	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
125	5, 124	eqtr2i 2260	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   {cpr 3706   U.cuni 3930   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   ran crn 4770   |` cres 4771   o. ccom 4773   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   supcsup 7312  infcinf 7313   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   RR+crp 10033   (,)cioo 10269   abscabs 11741   topGenctg 13585   *Metcxmet 14845   ballcbl 14847   MetOpencmopn 14850   TopBasesctb 15066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-bases 15067

This theorem is referenced by:  resubmet  15580  tgioo2cntop  15581  tgioo2  15583