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Theorem tgioo 14483
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  w  a  b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 14478 . . 3  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 14379 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 5 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
6 blex 14324 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  ( ball `  D )  e. 
_V )
72, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ball `  D )  e.  _V
87rnex 4909 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  e. 
_V
91blssioo 14482 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
10 elssuni 3852 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
11 unirnioo 9998 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
1210, 11sseqtrrdi 3219 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
13 retopbas 14460 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
1612sselda 3170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
17 1re 7981 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
181bl2ioo 14479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1917, 18mpan2 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
20 peano2rem 8249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
2120rexrd 8032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
22 peano2re 8118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2322rexrd 8032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
24 ioorebasg 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2619, 25eqeltrd 2266 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
29 1rp 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
30 blcntr 14353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
3328, 32elind 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
34 basis2 13985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1250 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
36 ioof 9996 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
38 ovelrn 6041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
40 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
41 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
43 inss2 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
44 sstr 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4543, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
47 elioore 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
51 dfss 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
53 eliooxr 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5421, 23jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
56 iooinsup 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5857adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5952, 58eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
60 mnfxr 8039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6253adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6362simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
65 xrmaxcl 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6762simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6968rexrd 8032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
70 xrmincl 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7167, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7372adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
74 mnflt 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
76 xrmax2sup 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7763, 64, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
8079, 59eleqtrd 2268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
81 eliooxr 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
82 elex2 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
83 ioom 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf
( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  <->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8482, 83imbitrid 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
87 xrre2 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ 
sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
89 mnfle 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
92 xrmin2inf 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
94 xrre 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -oo  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  + 
1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
961ioo2blex 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9788, 95, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9859, 97eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
99 inss1 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
100 sstr 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10199, 100mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
102101adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
103 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10440, 103anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
105104rspcev 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
107 blssex 14367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1082, 48, 107sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
109106, 108mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
11042, 109biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
112111rexlimivv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
113112imp 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11439, 113sylanb 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
115114rexlimiva 2602 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
117116ralrimiva 2563 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1183elmopn2 14386 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
12012, 117, 119sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
121120ssriv 3174 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
122121, 5sseqtri 3204 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
123 2basgeng 14019 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  e.  _V  /\  ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1248, 9, 122, 123mp3an 1348 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1255, 124eqtr2i 2211 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    i^i cin 3143    C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   {cpr 3608   U.cuni 3824   class class class wbr 4018    X. cxp 4639   ran crn 4642    |` cres 4643    o. ccom 4645    Fn wfn 5227   -->wf 5228   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   supcsup 7006  infcinf 7007   RRcr 7835   1c1 7837    + caddc 7839   -oocmnf 8015   RR*cxr 8016    < clt 8017    <_ cle 8018    - cmin 8153   RR+crp 9678   (,)cioo 9913   abscabs 11033   topGenctg 12752   *Metcxmet 13842   ballcbl 13844   MetOpencmopn 13847   TopBasesctb 13979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-map 6671  df-sup 7008  df-inf 7009  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-xneg 9797  df-xadd 9798  df-ioo 9917  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-topgen 12758  df-psmet 13849  df-xmet 13850  df-met 13851  df-bl 13852  df-mopn 13853  df-top 13935  df-bases 13980
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