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Theorem tgioo 12626
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  w  a  b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 12621 . . 3  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 12522 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 5 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
6 blex 12467 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  ( ball `  D )  e. 
_V )
72, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ball `  D )  e.  _V
87rnex 4776 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  e. 
_V
91blssioo 12625 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
10 elssuni 3734 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
11 unirnioo 9711 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
1210, 11sseqtrrdi 3116 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
13 retopbas 12603 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
15 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
1612sselda 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
17 1re 7733 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
181bl2ioo 12622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1917, 18mpan2 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
20 peano2rem 7997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
2120rexrd 7783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
22 peano2re 7866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2322rexrd 7783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
24 ioorebasg 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2521, 23, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2619, 25eqeltrd 2194 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
29 1rp 9401 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
30 blcntr 12496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
3328, 32elind 3231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
34 basis2 12126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
36 ioof 9709 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
38 ovelrn 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
40 eleq2 2181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
41 sseq1 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
43 inss2 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
44 sstr 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4543, 44mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4645adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
47 elioore 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
51 dfss 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
53 eliooxr 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5421, 23jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
56 iooinsup 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5857adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
5952, 58eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
60 mnfxr 7790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6253adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6362simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
65 xrmaxcl 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6663, 64, 65syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6762simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6968rexrd 7783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
70 xrmincl 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7167, 69, 70syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7372adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
74 mnflt 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
76 xrmax2sup 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7763, 64, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
79 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
8079, 59eleqtrd 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
81 eliooxr 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
82 elex2 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
83 ioom 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( E. w  w  e.  ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf
( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  <->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8482, 83syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
87 xrre2 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ 
sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
89 mnfle 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <_  sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  < inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )
92 xrmin2inf 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  +  1 ) )
94 xrre 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -oo  < inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  /\ inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  <_  ( x  + 
1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  + 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
961ioo2blex 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( sup ( { a ,  ( x  - 
1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ inf ( {
b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9788, 95, 96syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( sup ( { a ,  ( x  -  1 ) } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { b ,  ( x  +  1 ) } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9859, 97eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
99 inss1 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
100 sstr 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10199, 100mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
102101adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
103 sseq1 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10440, 103anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
105104rspcev 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
107 blssex 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1082, 48, 107sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
109106, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
11042, 109syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
112111rexlimivv 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
113112imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11439, 113sylanb 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
115114rexlimiva 2521 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
117116ralrimiva 2482 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1183elmopn2 12529 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
12012, 117, 119sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
121120ssriv 3071 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
122121, 5sseqtri 3101 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
123 2basgeng 12162 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  e.  _V  /\  ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1248, 9, 122, 123mp3an 1300 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1255, 124eqtr2i 2139 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    i^i cin 3040    C_ wss 3041   ~Pcpw 3480   {cpr 3498   U.cuni 3706   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   ran crn 4510    |` cres 4511    o. ccom 4513    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   supcsup 6837  infcinf 6838   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591   -oocmnf 7766   RR*cxr 7767    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   RR+crp 9397   (,)cioo 9626   abscabs 10724   topGenctg 12046   *Metcxmet 12060   ballcbl 12062   MetOpencmopn 12065   TopBasesctb 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-xneg 9514  df-xadd 9515  df-ioo 9630  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-topgen 12052  df-psmet 12067  df-xmet 12068  df-met 12069  df-bl 12070  df-mopn 12071  df-top 12076  df-bases 12121
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