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Theorem tgioo 13340
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
tgioo |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Proof of Theorem tgioo
Dummy variables x y z w a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
21rexmet 13335 . . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3 tgioo.2 . . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
43mopnval 13236 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
52, 4ax-mp 5 . 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6 blex 13181 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( ball ` D ) e. _V )
72, 6ax-mp 5 . . . 4 |- ( ball ` D ) e. _V
87rnex 4878 . . 3 |- ran ( ball ` D ) e. _V
91blssioo 13339 . . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
10 elssuni 3824 . . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
11 unirnioo 9930 . . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
1210, 11sseqtrrdi 3196 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
13 retopbas 13317 . . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
15 simpl 108 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
1612sselda 3147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
17 1re 7919 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
181bl2ioo 13336 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
1917, 18mpan2 423 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
20 peano2rem 8186 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
2120rexrd 7969 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
22 peano2re 8055 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
2322rexrd 7969 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
24 ioorebasg 9932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2521, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
2619, 25eqeltrd 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
29 1rp 9614 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
30 blcntr 13210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
312, 29, 30mp3an13 1323 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
3328, 32elind 3312 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
34 basis2 12840 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1234 . . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36 ioof 9928 . . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
37 ffn 5347 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
38 ovelrn 6001 . . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
40 eleq2 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
41 sseq1 3170 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
43 inss2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
44 sstr 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4543, 44mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
4645adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
47 elioore 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
51 dfss 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
53 eliooxr 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
5421, 23jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
56 iooinsup 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5857adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
5952, 58eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
60 mnfxr 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
6253adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
6362simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
65 xrmaxcl 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6663, 64, 65syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
6762simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
6968rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
70 xrmincl 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7167, 69, 70syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* )
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
7372adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
74 mnflt 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
76 xrmax2sup 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7763, 64, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
79 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
8079, 59eleqtrd 2249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
81 eliooxr 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) )
82 elex2 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
83 ioom 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( E. w w e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) <-> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8482, 83syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) )
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
87 xrre2 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* ) /\ ( -oo < sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) /\ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
89 mnfle 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) )
92 xrmin2inf 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) )
94 xrre 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR )
961ioo2blex 13338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) e. RR /\ inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9788, 95, 96syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( sup ( { a , ( x - 1 ) } , RR* , < ) (,)inf ( { b , ( x + 1 ) } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` D ) )
9859, 97eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
99 inss1 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
100 sstr 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
10199, 100mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102101adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
103 sseq1 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
10440, 103anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
105104rspcev 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
107 blssex 13224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
1082, 48, 107sylancr 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
109106, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11042, 109syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
112111rexlimivv 2593 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
113112imp 123 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11439, 113sylanb 282 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115114rexlimiva 2582 . . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
11635, 115syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117116ralrimiva 2543 . . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
1183elmopn2 13243 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
12012, 117, 119sylanbrc 415 . . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
121120ssriv 3151 . . . 4 |- ran (,) C_ J
122121, 5sseqtri 3181 . . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
123 2basgeng 12876 . . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) e. _V /\ ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
1248, 9, 122, 123mp3an 1332 . 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
1255, 124eqtr2i 2192 1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   {cpr 3584   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   ran crn 4612   |` cres 4613   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   supcsup 6959  infcinf 6960   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   -oocmnf 7952   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   RR+crp 9610   (,)cioo 9845   abscabs 10961   topGenctg 12594   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776   MetOpencmopn 12779   TopBasesctb 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-bases 12835
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