Theorem nninfdclemcl 12377

Description: Lemma for nninfdc 12382. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemcl.p	|- ( ph -> P e. A )
nninfdclemcl.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	|- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   y, A, z   A, m, n   x, P   P, m, n   y, P, z   y, Q, z   m, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, m, n)   Q( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
3	1, 2	sseldd 3142	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 4	sseldd 3142	. . 3 |- ( ph -> Q e. NN )
6		inss1 3341	. . . . . 6 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ A
7	6, 1	sstrid 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN )
8		eleq1w 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
9	8	dcbid 828	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
12		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
13	9, 11, 12	rspcdva 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
14	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. NN )
15	14	nnzd 9308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. ZZ )
16	15	peano2zd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
17	12	nnzd 9308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
18		eluzdc 9544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
20		dcan2 924	. . . . . . . . 9 |- (DECID s e. A -> (DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
21	13, 19, 20	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
22		elin 3304	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
23	22	dcbii 830	. . . . . . . 8 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
24	21, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
25	24	ralrimiva 2538	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
26		eleq1w 2226	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
27	26	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
28	27	cbvralv 2691	. . . . . 6 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
29	25, 28	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
30		breq1 3984	. . . . . . . . 9 |- ( m = P -> ( m < n <-> P < n ) )
31	30	rexbidv 2466	. . . . . . . 8 |- ( m = P -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A P < n ) )
32		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
33	31, 32, 3	rspcdva 2834	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. A P < n )
34		breq2 3985	. . . . . . . 8 |- ( n = t -> ( P < n <-> P < t ) )
35	34	cbvrexv 2692	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A P < n <-> E. t e. A P < t )
36	33, 35	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. A P < t )
37		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. A )
38	3	nnzd 9308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
39	38	peano2zd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. ZZ )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
41	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> A C_ NN )
42	41, 37	sseldd 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. NN )
43	42	nnzd 9308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ZZ )
44		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P < t )
45	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P e. NN )
46		nnltp1le 9247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN /\ t e. NN ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
47	45, 42, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) <_ t )
49		eluz2 9468	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) <-> ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ /\ ( P + 1 ) <_ t ) )
50	40, 43, 48, 49	syl3anbrc 1171	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
51	37, 50	elind 3306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
52		elex2 2741	. . . . . . 7 |- ( t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
54	36, 53	rexlimddv 2587	. . . . 5 |- ( ph -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
55		nnmindc 11963	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) /\ E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
56	7, 29, 54, 55	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
57	56	elin1d 3310	. . 3 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
58		fvoveq1 5864	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
59	58	ineq2d 3322	. . . . 5 |- ( y = P -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
60	59	infeq1d 6973	. . . 4 |- ( y = P -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
61		eqidd 2166	. . . 4 |- ( z = Q -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
62		eqid 2165	. . . 4 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
63	60, 61, 62	ovmpog 5972	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ Q e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
64	3, 5, 57, 63	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
65	64, 57	eqeltrd 2242	1 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   i^i cin 3114   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   e. cmpo 5843  infcinf 6944   RRcr 7748   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12378  nninfdclemp1  12379