Theorem nninfdclemcl 12934

Description: Lemma for nninfdc 12939. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemcl.p	|- ( ph -> P e. A )
nninfdclemcl.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	|- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   y, A, z   A, m, n   x, P   P, m, n   y, P, z   y, Q, z   m, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, m, n)   Q( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
3	1, 2	sseldd 3202	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 4	sseldd 3202	. . 3 |- ( ph -> Q e. NN )
6		inss1 3401	. . . . . 6 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ A
7	6, 1	sstrid 3212	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN )
8		eleq1 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
9	8	dcbid 840	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
13	9, 11, 12	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. NN )
15	14	nnzd 9529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. ZZ )
16	15	peano2zd 9533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
17	12	nnzd 9529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
18		eluzdc 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
20	13, 19	dcand 935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
21		elin 3364	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
22	21	dcbii 842	. . . . . . . 8 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
24	23	ralrimiva 2581	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
25		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
26	25	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
27	26	cbvralvw 2746	. . . . . 6 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
28	24, 27	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
29		breq1 4062	. . . . . . . . 9 |- ( m = P -> ( m < n <-> P < n ) )
30	29	rexbidv 2509	. . . . . . . 8 |- ( m = P -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A P < n ) )
31		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
32	30, 31, 3	rspcdva 2889	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. A P < n )
33		breq2 4063	. . . . . . . 8 |- ( n = t -> ( P < n <-> P < t ) )
34	33	cbvrexvw 2747	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A P < n <-> E. t e. A P < t )
35	32, 34	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. A P < t )
36		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. A )
37	3	nnzd 9529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
38	37	peano2zd 9533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
40	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> A C_ NN )
41	40, 36	sseldd 3202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. NN )
42	41	nnzd 9529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ZZ )
43		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P < t )
44		nnltp1le 9468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN /\ t e. NN ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
45	3, 41, 44	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) <_ t )
47		eluz2 9689	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) <-> ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ /\ ( P + 1 ) <_ t ) )
48	39, 42, 46, 47	syl3anbrc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
49	36, 48	elind 3366	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
50		elex2 2793	. . . . . . 7 |- ( t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
52	35, 51	rexlimddv 2630	. . . . 5 |- ( ph -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
53		nnmindc 12470	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) /\ E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
54	7, 28, 52, 53	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
55	54	elin1d 3370	. . 3 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
56		fvoveq1 5990	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
57	56	ineq2d 3382	. . . . 5 |- ( y = P -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
58	57	infeq1d 7140	. . . 4 |- ( y = P -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
59		eqidd 2208	. . . 4 |- ( z = Q -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
60		eqid 2207	. . . 4 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
61	58, 59, 60	ovmpog 6103	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ Q e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
62	3, 5, 55, 61	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
63	62, 55	eqeltrd 2284	1 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  infcinf 7111   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12935  nninfdclemp1  12936