Theorem nninfdclemcl 12403

Description: Lemma for nninfdc 12408. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemcl.p	|- ( ph -> P e. A )
nninfdclemcl.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	|- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   y, A, z   A, m, n   x, P   P, m, n   y, P, z   y, Q, z   m, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, m, n)   Q( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
3	1, 2	sseldd 3148	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 4	sseldd 3148	. . 3 |- ( ph -> Q e. NN )
6		inss1 3347	. . . . . 6 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ A
7	6, 1	sstrid 3158	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN )
8		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
9	8	dcbid 833	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
12		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
13	9, 11, 12	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
14	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. NN )
15	14	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. ZZ )
16	15	peano2zd 9337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
17	12	nnzd 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
18		eluzdc 9569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
20		dcan2 929	. . . . . . . . 9 |- (DECID s e. A -> (DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
21	13, 19, 20	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
22		elin 3310	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
23	22	dcbii 835	. . . . . . . 8 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
24	21, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
25	24	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
26		eleq1w 2231	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
27	26	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
28	27	cbvralv 2696	. . . . . 6 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
29	25, 28	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
30		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( m = P -> ( m < n <-> P < n ) )
31	30	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( m = P -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A P < n ) )
32		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
33	31, 32, 3	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. A P < n )
34		breq2 3993	. . . . . . . 8 |- ( n = t -> ( P < n <-> P < t ) )
35	34	cbvrexv 2697	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A P < n <-> E. t e. A P < t )
36	33, 35	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. A P < t )
37		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. A )
38	3	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
39	38	peano2zd 9337	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. ZZ )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
41	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> A C_ NN )
42	41, 37	sseldd 3148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. NN )
43	42	nnzd 9333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ZZ )
44		simprr 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P < t )
45	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P e. NN )
46		nnltp1le 9272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN /\ t e. NN ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
47	45, 42, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) <_ t )
49		eluz2 9493	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) <-> ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ /\ ( P + 1 ) <_ t ) )
50	40, 43, 48, 49	syl3anbrc 1176	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
51	37, 50	elind 3312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
52		elex2 2746	. . . . . . 7 |- ( t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
54	36, 53	rexlimddv 2592	. . . . 5 |- ( ph -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
55		nnmindc 11989	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) /\ E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
56	7, 29, 54, 55	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
57	56	elin1d 3316	. . 3 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
58		fvoveq1 5876	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
59	58	ineq2d 3328	. . . . 5 |- ( y = P -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
60	59	infeq1d 6989	. . . 4 |- ( y = P -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
61		eqidd 2171	. . . 4 |- ( z = Q -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
62		eqid 2170	. . . 4 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
63	60, 61, 62	ovmpog 5987	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ Q e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
64	3, 5, 57, 63	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
65	64, 57	eqeltrd 2247	1 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855  infcinf 6960   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12404  nninfdclemp1  12405