Theorem nninfdclemcl 13019

Description: Lemma for nninfdc 13024. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemcl.p	|- ( ph -> P e. A )
nninfdclemcl.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	|- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   y, A, z   A, m, n   x, P   P, m, n   y, P, z   y, Q, z   m, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, m, n)   Q( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
3	1, 2	sseldd 3225	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 4	sseldd 3225	. . 3 |- ( ph -> Q e. NN )
6		inss1 3424	. . . . . 6 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ A
7	6, 1	sstrid 3235	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN )
8		eleq1 2292	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
9	8	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
13	9, 11, 12	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. NN )
15	14	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. ZZ )
16	15	peano2zd 9572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
17	12	nnzd 9568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
18		eluzdc 9805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
20	13, 19	dcand 938	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
21		elin 3387	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
22	21	dcbii 845	. . . . . . . 8 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
23	20, 22	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
24	23	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
25		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
26	25	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
27	26	cbvralvw 2769	. . . . . 6 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
28	24, 27	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
29		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( m = P -> ( m < n <-> P < n ) )
30	29	rexbidv 2531	. . . . . . . 8 |- ( m = P -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A P < n ) )
31		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
32	30, 31, 3	rspcdva 2912	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. A P < n )
33		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( n = t -> ( P < n <-> P < t ) )
34	33	cbvrexvw 2770	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A P < n <-> E. t e. A P < t )
35	32, 34	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. A P < t )
36		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. A )
37	3	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
38	37	peano2zd 9572	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
40	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> A C_ NN )
41	40, 36	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. NN )
42	41	nnzd 9568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ZZ )
43		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P < t )
44		nnltp1le 9507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN /\ t e. NN ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
45	3, 41, 44	syl2an2r 597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) <_ t )
47		eluz2 9728	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) <-> ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ /\ ( P + 1 ) <_ t ) )
48	39, 42, 46, 47	syl3anbrc 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
49	36, 48	elind 3389	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
50		elex2 2816	. . . . . . 7 |- ( t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
52	35, 51	rexlimddv 2653	. . . . 5 |- ( ph -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
53		nnmindc 12555	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) /\ E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
54	7, 28, 52, 53	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
55	54	elin1d 3393	. . 3 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
56		fvoveq1 6024	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
57	56	ineq2d 3405	. . . . 5 |- ( y = P -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
58	57	infeq1d 7179	. . . 4 |- ( y = P -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
59		eqidd 2230	. . . 4 |- ( z = Q -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
60		eqid 2229	. . . 4 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
61	58, 59, 60	ovmpog 6139	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ Q e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
62	3, 5, 55, 61	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
63	62, 55	eqeltrd 2306	1 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  infcinf 7150   RRcr 7998   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  13020  nninfdclemp1  13021