Theorem nninfdclemcl 12275

Description: Lemma for nninfdc 12280. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemcl.p	|- ( ph -> P e. A )
nninfdclemcl.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	|- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   y, A, z   A, m, n   x, P   P, m, n   y, P, z   y, Q, z   m, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, m, n)   Q( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. A )
3	1, 2	sseldd 3129	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 4	sseldd 3129	. . 3 |- ( ph -> Q e. NN )
6		inss1 3328	. . . . . 6 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ A
7	6, 1	sstrid 3139	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN )
8		eleq1w 2218	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
9	8	dcbid 824	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
12		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
13	9, 11, 12	rspcdva 2821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
14	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. NN )
15	14	nnzd 9291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> P e. ZZ )
16	15	peano2zd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
17	12	nnzd 9291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
18		eluzdc 9527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
20		dcan 919	. . . . . . . . 9 |- (DECID s e. A -> (DECID s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
21	13, 19, 20	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
22		elin 3291	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
23	22	dcbii 826	. . . . . . . 8 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
24	21, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
25	24	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
26		eleq1w 2218	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
27	26	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) )
28	27	cbvralv 2680	. . . . . 6 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
29	25, 28	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
30		breq1 3970	. . . . . . . . 9 |- ( m = P -> ( m < n <-> P < n ) )
31	30	rexbidv 2458	. . . . . . . 8 |- ( m = P -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A P < n ) )
32		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
33	31, 32, 3	rspcdva 2821	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. A P < n )
34		breq2 3971	. . . . . . . 8 |- ( n = t -> ( P < n <-> P < t ) )
35	34	cbvrexv 2681	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A P < n <-> E. t e. A P < t )
36	33, 35	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. A P < t )
37		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. A )
38	3	nnzd 9291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
39	38	peano2zd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. ZZ )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) e. ZZ )
41	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> A C_ NN )
42	41, 37	sseldd 3129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. NN )
43	42	nnzd 9291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ZZ )
44		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P < t )
45	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> P e. NN )
46		nnltp1le 9233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN /\ t e. NN ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
47	45, 42, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P < t <-> ( P + 1 ) <_ t ) )
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> ( P + 1 ) <_ t )
49		eluz2 9451	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) <-> ( ( P + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ /\ ( P + 1 ) <_ t ) )
50	40, 43, 48, 49	syl3anbrc 1166	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
51	37, 50	elind 3293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
52		elex2 2728	. . . . . . 7 |- ( t e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( t e. A /\ P < t ) ) -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
54	36, 53	rexlimddv 2579	. . . . 5 |- ( ph -> E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
55		nnmindc 12273	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) /\ E. r r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
56	7, 29, 54, 55	syl3anc 1220	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
57	56	elin1d 3297	. . 3 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
58		fvoveq1 5850	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) )
59	58	ineq2d 3309	. . . . 5 |- ( y = P -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) )
60	59	infeq1d 6959	. . . 4 |- ( y = P -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
61		eqidd 2158	. . . 4 |- ( z = Q -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
62		eqid 2157	. . . 4 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
63	60, 61, 62	ovmpog 5958	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ Q e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
64	3, 5, 57, 63	syl3anc 1220	. 2 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( P + 1 ) ) ) , RR , < ) )
65	64, 57	eqeltrd 2234	1 |- ( ph -> ( P ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   i^i cin 3101   C_ wss 3102   class class class wbr 3967   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   e. cmpo 5829  infcinf 6930   RRcr 7734   1c1 7736   + caddc 7738   < clt 7915   <_ cle 7916   NNcn 8839   ZZcz 9173   ZZ>=cuz 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12276  nninfdclemp1  12277