Theorem nninfdclemp1 12610

Description: Lemma for nninfdc 12613. Each element of the sequence F is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
nninfdclemp1.u	|- ( ph -> U e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemp1	|- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   y, A, z   x, A   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z   U, i   U, m, n   x, U   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemp1

Dummy variables a b r p q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . . . . 6 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12609	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		nninfdclemp1.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. NN )
8	6, 7	ffvelcdmd 5695	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` U ) e. A )
9	1, 8	sseldd 3181	. . 3 |- ( ph -> ( F ` U ) e. NN )
10	9	nnred 8997	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) e. RR )
11	9	nnzd 9441	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` U ) e. ZZ )
12	11	peano2zd 9445	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ )
13	12	zred 9442	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. RR )
14	7	peano2nnd 8999	. . . . 5 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. NN )
15	6, 14	ffvelcdmd 5695	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. A )
16	1, 15	sseldd 3181	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. NN )
17	16	nnred 8997	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. RR )
18	10	ltp1d 8951	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( ( F ` U ) + 1 ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
20	19	elin2d 3350	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> r e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
21		eluzle 9607	. . . . . 6 |- ( r e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
23	22	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
24		inss1 3380	. . . . . . 7 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ A
25	24, 1	sstrid 3191	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ NN )
26		eleq1w 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
27	26	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> (DECID x e. A <-> DECID a e. A ) )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> a e. NN )
30	27, 28, 29	rspcdva 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. A )
31	29	nnzd 9441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> a e. ZZ )
32		eluzdc 9678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
33	12, 31, 32	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
34		dcan2 936	. . . . . . . . 9 |- (DECID a e. A -> (DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
35	30, 33, 34	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
36		elin 3343	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
37	36	dcbii 841	. . . . . . . 8 |- (DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
39	38	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. NN DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
40		breq1 4033	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( F ` U ) -> ( m < n <-> ( F ` U ) < n ) )
41	40	rexbidv 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( F ` U ) -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A ( F ` U ) < n ) )
42	41, 3, 9	rspcdva 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. n e. A ( F ` U ) < n )
43		breq2 4034	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ( F ` U ) < n <-> ( F ` U ) < b ) )
44	43	cbvrexv 2727	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. A ( F ` U ) < n <-> E. b e. A ( F ` U ) < b )
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. b e. A ( F ` U ) < b )
46		df-rex 2478	. . . . . . . 8 |- ( E. b e. A ( F ` U ) < b <-> E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) )
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) )
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. A )
49	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ )
50	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> A C_ NN )
51	50, 48	sseldd 3181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. NN )
52	51	nnzd 9441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ZZ )
53		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( F ` U ) < b )
54		nnltp1le 9380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` U ) e. NN /\ b e. NN ) -> ( ( F ` U ) < b <-> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
55	9, 51, 54	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) < b <-> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
56	53, 55	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b )
57		eluz2 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) <-> ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ b e. ZZ /\ ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
58	49, 52, 56, 57	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
59	48, 58	elind 3345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) -> b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
61	60	eximdv 1891	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) -> E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
63	25, 39, 62	nninfdcex 12093	. . . . 5 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) r < b ) ) )
64		nnssre 8988	. . . . . 6 |- NN C_ RR
65	25, 64	sstrdi 3192	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ RR )
66	63, 65, 13	infregelbex 9666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` U ) + 1 ) <_ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) <-> A. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r ) )
67	23, 66	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
68	5	fveq1i 5556	. . . . 5 |- ( F ` ( U + 1 ) ) = ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` ( U + 1 ) )
69		nnuz 9631	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
70	7, 69	eleqtrdi 2286	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. ( ZZ>= ` 1 ) )
71		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
72		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( i = p -> J = J )
73		elnnuz 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN <-> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
74	73	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. NN )
75	74	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. NN )
76	4	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. A )
77	76	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> J e. A )
78	71, 72, 75, 77	fvmptd3 5652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
79	78, 77	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
80	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
81	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
82	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
83		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
84		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
85	80, 81, 82, 83, 84	nninfdclemcl 12608	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
86	70, 79, 85	seq3p1 10539	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` ( U + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) )
87	68, 86	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) )
88	5	fveq1i 5556	. . . . . . 7 |- ( F ` U ) = ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U )
89	88	eqcomi 2197	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) = ( F ` U )
90	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) = ( F ` U ) )
91		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( i = ( U + 1 ) -> J = J )
92	71, 91, 14, 76	fvmptd3 5652	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) = J )
93	90, 92	oveq12d 5937	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) = ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) )
94	1, 76	sseldd 3181	. . . . 5 |- ( ph -> J e. NN )
95		eleq1w 2254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
96	95	dcbid 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
97	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
99	96, 97, 98	rspcdva 2870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
100	98	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
101		eluzdc 9678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
102	12, 100, 101	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
103		dcan2 936	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID s e. A -> (DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
104	99, 102, 103	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
105		elin 3343	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
106	105	dcbii 841	. . . . . . . . . 10 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
107	104, 106	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
108	107	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
109		eleq1w 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
110	109	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
111	110	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
112	108, 111	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
113		nnmindc 12174	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) /\ E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
114	25, 112, 62, 113	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
115	114	elin1d 3349	. . . . 5 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
116		fvoveq1 5942	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` U ) -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
117	116	ineq2d 3361	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` U ) -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
118	117	infeq1d 7073	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` U ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
119		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( z = J -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
120		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
121	118, 119, 120	ovmpog 6054	. . . . 5 |- ( ( ( F ` U ) e. NN /\ J e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
122	9, 94, 115, 121	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
123	87, 93, 122	3eqtrd 2230	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
124	67, 123	breqtrrd 4058	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ ( F ` ( U + 1 ) ) )
125	10, 13, 17, 18, 124	ltletrd 8444	1 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   i^i cin 3153   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921  infcinf 7044   RRcr 7873   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   <_ cle 8057   NNcn 8984   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  12611