Theorem nninfdclemp1 13021

Description: Lemma for nninfdc 13024. Each element of the sequence F is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
nninfdclemp1.u	|- ( ph -> U e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemp1	|- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   y, A, z   x, A   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z   U, i   U, m, n   x, U   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemp1

Dummy variables a b r p q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . . . . 6 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 13020	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		nninfdclemp1.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. NN )
8	6, 7	ffvelcdmd 5771	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` U ) e. A )
9	1, 8	sseldd 3225	. . 3 |- ( ph -> ( F ` U ) e. NN )
10	9	nnred 9123	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) e. RR )
11	9	nnzd 9568	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` U ) e. ZZ )
12	11	peano2zd 9572	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ )
13	12	zred 9569	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. RR )
14	7	peano2nnd 9125	. . . . 5 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. NN )
15	6, 14	ffvelcdmd 5771	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. A )
16	1, 15	sseldd 3225	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. NN )
17	16	nnred 9123	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) e. RR )
18	10	ltp1d 9077	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( ( F ` U ) + 1 ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
20	19	elin2d 3394	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> r e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
21		eluzle 9734	. . . . . 6 |- ( r e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
23	22	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r )
24		inss1 3424	. . . . . . 7 |- ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ A
25	24, 1	sstrid 3235	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ NN )
26		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
27	26	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> (DECID x e. A <-> DECID a e. A ) )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> a e. NN )
30	27, 28, 29	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. A )
31	29	nnzd 9568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> a e. ZZ )
32		eluzdc 9805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
33	12, 31, 32	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
34		dcan2 940	. . . . . . . . 9 |- (DECID a e. A -> (DECID a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
35	30, 33, 34	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
36		elin 3387	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
37	36	dcbii 845	. . . . . . . 8 |- (DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID ( a e. A /\ a e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
39	38	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. NN DECID a e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
40		breq1 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( F ` U ) -> ( m < n <-> ( F ` U ) < n ) )
41	40	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( F ` U ) -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A ( F ` U ) < n ) )
42	41, 3, 9	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. n e. A ( F ` U ) < n )
43		breq2 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ( F ` U ) < n <-> ( F ` U ) < b ) )
44	43	cbvrexv 2766	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. A ( F ` U ) < n <-> E. b e. A ( F ` U ) < b )
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. b e. A ( F ` U ) < b )
46		df-rex 2514	. . . . . . . 8 |- ( E. b e. A ( F ` U ) < b <-> E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) )
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) )
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. A )
49	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ )
50	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> A C_ NN )
51	50, 48	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. NN )
52	51	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ZZ )
53		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( F ` U ) < b )
54		nnltp1le 9507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` U ) e. NN /\ b e. NN ) -> ( ( F ` U ) < b <-> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
55	9, 51, 54	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) < b <-> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
56	53, 55	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b )
57		eluz2 9728	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) <-> ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ b e. ZZ /\ ( ( F ` U ) + 1 ) <_ b ) )
58	49, 52, 56, 57	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
59	48, 58	elind 3389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) ) -> b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) -> b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
61	60	eximdv 1926	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. b ( b e. A /\ ( F ` U ) < b ) -> E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
63	25, 39, 62	nninfdcex 10457	. . . . 5 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) r < b ) ) )
64		nnssre 9114	. . . . . 6 |- NN C_ RR
65	25, 64	sstrdi 3236	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ RR )
66	63, 65, 13	infregelbex 9793	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` U ) + 1 ) <_ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) <-> A. r e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ( ( F ` U ) + 1 ) <_ r ) )
67	23, 66	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
68	5	fveq1i 5628	. . . . 5 |- ( F ` ( U + 1 ) ) = ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` ( U + 1 ) )
69		nnuz 9758	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
70	7, 69	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. ( ZZ>= ` 1 ) )
71		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
72		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( i = p -> J = J )
73		elnnuz 9759	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN <-> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
74	73	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. NN )
75	74	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. NN )
76	4	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. A )
77	76	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> J e. A )
78	71, 72, 75, 77	fvmptd3 5728	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
79	78, 77	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
80	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
81	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
82	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
83		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
84		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
85	80, 81, 82, 83, 84	nninfdclemcl 13019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
86	70, 79, 85	seq3p1 10687	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` ( U + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) )
87	68, 86	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) )
88	5	fveq1i 5628	. . . . . . 7 |- ( F ` U ) = ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U )
89	88	eqcomi 2233	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) = ( F ` U )
90	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) = ( F ` U ) )
91		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( i = ( U + 1 ) -> J = J )
92	71, 91, 14, 76	fvmptd3 5728	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) = J )
93	90, 92	oveq12d 6019	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) ( ( i e. NN |-> J ) ` ( U + 1 ) ) ) = ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) )
94	1, 76	sseldd 3225	. . . . 5 |- ( ph -> J e. NN )
95		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( x e. A <-> s e. A ) )
96	95	dcbid 843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> (DECID x e. A <-> DECID s e. A ) )
97	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. NN )
99	96, 97, 98	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. A )
100	98	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
101		eluzdc 9805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` U ) + 1 ) e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
102	12, 100, 101	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
103		dcan2 940	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID s e. A -> (DECID s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
104	99, 102, 103	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
105		elin 3387	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
106	105	dcbii 845	. . . . . . . . . 10 |- (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID ( s e. A /\ s e. ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
107	104, 106	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
108	107	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
109		eleq1w 2290	. . . . . . . . . 10 |- ( s = x -> ( s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
110	109	dcbid 843	. . . . . . . . 9 |- ( s = x -> (DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) )
111	110	cbvralv 2765	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. NN DECID s e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) <-> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
112	108, 111	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
113		nnmindc 12555	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) /\ E. b b e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
114	25, 112, 62, 113	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
115	114	elin1d 3393	. . . . 5 |- ( ph -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A )
116		fvoveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` U ) -> ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) )
117	116	ineq2d 3405	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` U ) -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) )
118	117	infeq1d 7179	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` U ) -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
119		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( z = J -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
120		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
121	118, 119, 120	ovmpog 6139	. . . . 5 |- ( ( ( F ` U ) e. NN /\ J e. NN /\ inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) e. A ) -> ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
122	9, 94, 115, 121	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` U ) ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) J ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
123	87, 93, 122	3eqtrd 2266	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( U + 1 ) ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( ( F ` U ) + 1 ) ) ) , RR , < ) )
124	67, 123	breqtrrd 4111	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` U ) + 1 ) <_ ( F ` ( U + 1 ) ) )
125	10, 13, 17, 18, 124	ltletrd 8570	1 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  infcinf 7150   RRcr 7998   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  13022