ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmss Unicode version

Theorem lmss 12326
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1  |-  K  =  ( Jt  Y )
lmss.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmss.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lmss.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
lmss.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
lmss.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmss.7  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
Assertion
Ref Expression
lmss  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )

Proof of Theorem lmss
Dummy variables  j  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2117 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 12096 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 lmcl 12325 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  U. J )
64, 5sylan 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  U. J )
7 lmfss 12324 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
84, 7sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
9 rnss 4739 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  U. J )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
11 rnxpss 4940 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  U. J ) 
C_  U. J
1210, 11sstrdi 3079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
136, 12jca 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
1413ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
15 inss2 3267 . . . . 5  |-  ( Y  i^i  U. J ) 
C_  U. J
16 lmss.1 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
17 lmss.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 resttopon2 12258 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
194, 17, 18syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2016, 19eqeltrid 2204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) ) )
21 lmcl 12325 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2220, 21sylan 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2315, 22sseldi 3065 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  U. J )
24 lmfss 12324 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
2520, 24sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
26 rnss 4739 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
28 rnxpss 4940 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) )  C_  ( Y  i^i  U. J
)
2927, 28sstrdi 3079 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ( Y  i^i  U. J ) )
3029, 15sstrdi 3079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
3123, 30jca 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
3231ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
33 simprl 505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  U. J )
34 lmss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
3534adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  Y
)
3635, 33elind 3231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) )
3733, 362thd 174 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e. 
U. J  <->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
3816eleq2i 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  K  <->  v  e.  ( Jt  Y ) )
391adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  Top )
4017adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  Y  e.  V
)
41 elrest 12038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4342biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  ( Jt  Y ) )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
4438, 43sylan2b 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
45 r19.29r 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  ->  E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) )
4635biantrud 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) ) )
47 elin 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) )
4846, 47syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  (
u  i^i  Y )
) )
49 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5049uztrn2 9299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
51 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> Y )
5352ffvelrnda 5523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  Y )
5453biantrud 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) ) )
55 elin 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) )
5654, 55syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5750, 56sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5857anassrs 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J
) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5958ralbidva 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6059rexbidva 2411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6148, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <-> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
6261adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
6362biimpd 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
64 eleq2 2181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
65 eleq2 2181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( F `  k
)  e.  v  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6665rexralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6764, 66imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
6867imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) )  <->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) ) )
6963, 68syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
v  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
7069impd 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) )
7170rexlimdva 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7245, 71syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7372expdimp 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) )
7444, 73syldan 280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7574ralrimdva 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7639adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  J  e.  Top )
7740adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  Y  e.  V )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  u  e.  J )
79 elrestr 12039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  Y
)  e.  ( Jt  Y ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8180, 16eleqtrrdi 2211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  K )
8267rspcv 2759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  Y )  e.  K  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8381, 82syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8483, 62sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8584ralrimdva 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8675, 85impbid 128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
8737, 86anbi12d 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  <-> 
( P  e.  ( Y  i^i  U. J
)  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
8839, 3sylib 121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
89 lmss.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9089adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  M  e.  ZZ )
9152ffnd 5243 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F  Fn  Z
)
92 simprr 506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  U. J
)
93 df-f 5097 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> U. J  <->  ( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  U. J ) )
9491, 92, 93sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> U. J )
95 eqidd 2118 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9688, 49, 90, 94, 95lmbrf 12295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) ) ) )
9720adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
9852frnd 5252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  Y
)
9998, 92ssind 3270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) )
100 df-f 5097 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> ( Y  i^i  U. J )  <-> 
( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) ) )
10191, 99, 100sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> ( Y  i^i  U. J
) )
10297, 49, 90, 101, 95lmbrf 12295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  <->  ( P  e.  ( Y  i^i  U. J )  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) ) )
10387, 96, 1023bitr4d 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
104103ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e. 
U. J  /\  ran  F 
C_  U. J )  -> 
( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) ) )
10514, 32, 104pm5.21ndd 679 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394    i^i cin 3040    C_ wss 3041   U.cuni 3706   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   ran crn 4510    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282   ↾t crest 12031   Topctop 12075  TopOnctopon 12088   ~~> tclm 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pm 6513  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-rest 12033  df-topgen 12052  df-top 12076  df-topon 12089  df-bases 12121  df-lm 12270
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator