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Theorem lmss 13749
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1 |- K = ( J ↾t Y )
lmss.2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmss.3 |- ( ph -> Y e. V )
lmss.4 |- ( ph -> J e. Top )
lmss.5 |- ( ph -> P e. Y )
lmss.6 |- ( ph -> M e. ZZ )
lmss.7 |- ( ph -> F : Z --> Y )
Assertion
Ref Expression
lmss |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
Proof of Theorem lmss
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
2 eqid 2177 . . . . . . 7 |- U. J = U. J
32toptopon 13521 . . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
41, 3sylib 122 . . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
5 lmcl 13748 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
64, 5sylan 283 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
7 lmfss 13747 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> F C_ ( CC X. U. J ) )
84, 7sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> F C_ ( CC X. U. J ) )
9 rnss 4858 . . . . . 6 |- ( F C_ ( CC X. U. J ) -> ran F C_ ran ( CC X. U. J ) )
108, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ran F C_ ran ( CC X. U. J ) )
11 rnxpss 5061 . . . . 5 |- ran ( CC X. U. J ) C_ U. J
1210, 11sstrdi 3168 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ran F C_ U. J )
136, 12jca 306 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) )
1413ex 115 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) )
15 inss2 3357 . . . . 5 |- ( Y i^i U. J ) C_ U. J
16 lmss.1 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
17 lmss.3 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
18 resttopon2 13681 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ Y e. V ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
2016, 19eqeltrid 2264 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
21 lmcl 13748 . . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
2220, 21sylan 283 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
2315, 22sselid 3154 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. U. J )
24 lmfss 13747 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
2520, 24sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
26 rnss 4858 . . . . . . 7 |- ( F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) -> ran F C_ ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
28 rnxpss 5061 . . . . . 6 |- ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) C_ ( Y i^i U. J )
2927, 28sstrdi 3168 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ ( Y i^i U. J ) )
3029, 15sstrdi 3168 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ U. J )
3123, 30jca 306 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) )
3231ex 115 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` K ) P -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) )
33 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. U. J )
34 lmss.5 . . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Y )
3534adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. Y )
3635, 33elind 3321 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
3733, 362thd 175 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. U. J <-> P e. ( Y i^i U. J ) ) )
3816eleq2i 2244 . . . . . . . . 9 |- ( v e. K <-> v e. ( J ↾t Y ) )
391adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> J e. Top )
4017adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> Y e. V )
41 elrest 12695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ Y e. V ) -> ( v e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( v e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) )
4342biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. ( J ↾t Y ) ) -> E. u e. J v = ( u i^i Y ) )
4438, 43sylan2b 287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. K ) -> E. u e. J v = ( u i^i Y ) )
45 r19.29r 2615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. u e. J v = ( u i^i Y ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> E. u e. J ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
4635biantrud 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. u <-> ( P e. u /\ P e. Y ) ) )
47 elin 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( u i^i Y ) <-> ( P e. u /\ P e. Y ) )
4846, 47bitr4di 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. u <-> P e. ( u i^i Y ) ) )
49 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5049uztrn2 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
51 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> F : Z --> Y )
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> Y )
5352ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. Y )
5453biantrud 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( ( F ` k ) e. u /\ ( F ` k ) e. Y ) ) )
55 elin 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) <-> ( ( F ` k ) e. u /\ ( F ` k ) e. Y ) )
5654, 55bitr4di 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5750, 56sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5857anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5958ralbidva 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6059rexbidva 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6148, 60imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6362biimpd 144 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
64 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( P e. v <-> P e. ( u i^i Y ) ) )
65 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( F ` k ) e. v <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6665rexralbidv 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6764, 66imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6867imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) <-> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) ) )
6963, 68syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
7069impd 254 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7170rexlimdva 2594 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( E. u e. J ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7245, 71syl5 32 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( E. u e. J v = ( u i^i Y ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7372expdimp 259 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7444, 73syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. K ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7574ralrimdva 2557 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7639adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> J e. Top )
7740adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> Y e. V )
78 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> u e. J )
79 elrestr 12696 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ Y e. V /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8180, 16eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. K )
8267rspcv 2838 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i Y ) e. K -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
8381, 82syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
8483, 62sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
8584ralrimdva 2557 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
8675, 85impbid 129 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
8737, 86anbi12d 473 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. ( Y i^i U. J ) /\ A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
8839, 3sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
89 lmss.6 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
9089adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> M e. ZZ )
9152ffnd 5367 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F Fn Z )
92 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ U. J )
93 df-f 5221 . . . . . 6 |- ( F : Z --> U. J <-> ( F Fn Z /\ ran F C_ U. J ) )
9491, 92, 93sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> U. J )
95 eqidd 2178 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9688, 49, 90, 94, 95lmbrf 13718 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) ) )
9720adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
9852frnd 5376 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ Y )
9998, 92ssind 3360 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ ( Y i^i U. J ) )
100 df-f 5221 . . . . . 6 |- ( F : Z --> ( Y i^i U. J ) <-> ( F Fn Z /\ ran F C_ ( Y i^i U. J ) ) )
10191, 99, 100sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> ( Y i^i U. J ) )
10297, 49, 90, 101, 95lmbrf 13718 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` K ) P <-> ( P e. ( Y i^i U. J ) /\ A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
10387, 96, 1023bitr4d 220 . . 3 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
104103ex 115 . 2 |- ( ph -> ( ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) ) )
10514, 32, 104pm5.21ndd 705 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3129   C_ wss 3130   U.cuni 3810   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   ran crn 4628   Fn wfn 5212   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ↾t crest 12688   Topctop 13500  TopOnctopon 13513   ~~> tclm 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pm 6651  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-lm 13693
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