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Theorem lmss 12445
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1  |-  K  =  ( Jt  Y )
lmss.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmss.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lmss.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
lmss.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
lmss.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmss.7  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
Assertion
Ref Expression
lmss  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )

Proof of Theorem lmss
Dummy variables  j  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2140 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 12215 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 lmcl 12444 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  U. J )
64, 5sylan 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  U. J )
7 lmfss 12443 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
84, 7sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
9 rnss 4773 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  U. J )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
11 rnxpss 4974 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  U. J ) 
C_  U. J
1210, 11sstrdi 3110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
136, 12jca 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
1413ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
15 inss2 3298 . . . . 5  |-  ( Y  i^i  U. J ) 
C_  U. J
16 lmss.1 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
17 lmss.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 resttopon2 12377 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
194, 17, 18syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2016, 19eqeltrid 2227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) ) )
21 lmcl 12444 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2220, 21sylan 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2315, 22sseldi 3096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  U. J )
24 lmfss 12443 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
2520, 24sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
26 rnss 4773 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
28 rnxpss 4974 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) )  C_  ( Y  i^i  U. J
)
2927, 28sstrdi 3110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ( Y  i^i  U. J ) )
3029, 15sstrdi 3110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
3123, 30jca 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
3231ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
33 simprl 521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  U. J )
34 lmss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
3534adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  Y
)
3635, 33elind 3262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) )
3733, 362thd 174 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e. 
U. J  <->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
3816eleq2i 2207 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  K  <->  v  e.  ( Jt  Y ) )
391adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  Top )
4017adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  Y  e.  V
)
41 elrest 12157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4342biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  ( Jt  Y ) )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
4438, 43sylan2b 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
45 r19.29r 2571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  ->  E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) )
4635biantrud 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) ) )
47 elin 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) )
4846, 47syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  (
u  i^i  Y )
) )
49 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5049uztrn2 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
51 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> Y )
5352ffvelrnda 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  Y )
5453biantrud 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) ) )
55 elin 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) )
5654, 55syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5750, 56sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5857anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J
) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5958ralbidva 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6059rexbidva 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6148, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <-> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
6261adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
6362biimpd 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
64 eleq2 2204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
65 eleq2 2204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( F `  k
)  e.  v  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6665rexralbidv 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6764, 66imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
6867imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) )  <->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) ) )
6963, 68syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
v  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
7069impd 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) )
7170rexlimdva 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7245, 71syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7372expdimp 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) )
7444, 73syldan 280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7574ralrimdva 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7639adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  J  e.  Top )
7740adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  Y  e.  V )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  u  e.  J )
79 elrestr 12158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  Y
)  e.  ( Jt  Y ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8180, 16eleqtrrdi 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  K )
8267rspcv 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  Y )  e.  K  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8381, 82syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8483, 62sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8584ralrimdva 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8675, 85impbid 128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
8737, 86anbi12d 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  <-> 
( P  e.  ( Y  i^i  U. J
)  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
8839, 3sylib 121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
89 lmss.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9089adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  M  e.  ZZ )
9152ffnd 5277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F  Fn  Z
)
92 simprr 522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  U. J
)
93 df-f 5131 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> U. J  <->  ( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  U. J ) )
9491, 92, 93sylanbrc 414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> U. J )
95 eqidd 2141 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9688, 49, 90, 94, 95lmbrf 12414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) ) ) )
9720adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
9852frnd 5286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  Y
)
9998, 92ssind 3301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) )
100 df-f 5131 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> ( Y  i^i  U. J )  <-> 
( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) ) )
10191, 99, 100sylanbrc 414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> ( Y  i^i  U. J
) )
10297, 49, 90, 101, 95lmbrf 12414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  <->  ( P  e.  ( Y  i^i  U. J )  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) ) )
10387, 96, 1023bitr4d 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
104103ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e. 
U. J  /\  ran  F 
C_  U. J )  -> 
( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) ) )
10514, 32, 104pm5.21ndd 695 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    i^i cin 3071    C_ wss 3072   U.cuni 3740   class class class wbr 3933    X. cxp 4541   ran crn 4544    Fn wfn 5122   -->wf 5123   ` cfv 5127  (class class class)co 5778   CCcc 7638   ZZcz 9074   ZZ>=cuz 9346   ↾t crest 12150   Topctop 12194  TopOnctopon 12207   ~~> tclm 12386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-pm 6549  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-rest 12152  df-topgen 12171  df-top 12195  df-topon 12208  df-bases 12240  df-lm 12389
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