Theorem dvmulxxbr 14938

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 14940. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmulxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Proof of Theorem dvmulxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
2		eqid 2196	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 14918	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11	7, 5	sstrd 3193	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
12	3	cntoptopon 14768	. . . . . . . . . 10 |- J e. (TopOn ` CC )
13		resttopon 14407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
14	12, 5, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15		topontop 14250	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
17		toponuni 14251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	7, 18	sseqtrd 3221	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
20		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
21	20	ntrss2 14357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
22	16, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	22, 10	sseldd 3184	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
24	6, 11, 23	dvlemap 14916	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
25		dvaddxx.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : X --> CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
27		elrabi 2917	. . . . . . 7 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
29	26, 28	ffvelcdmd 5698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
30	24, 29	mulcld 8047	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
31	25, 11, 23	dvlemap 14916	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32	6, 23	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
34	31, 33	mulcld 8047	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
35		ssidd 3204	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
36		txtopon 14498	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	12, 12, 36	mp2an 426	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 14257	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	9	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
40		cnex 8003	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
42	41, 5	ssexd 4173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. _V )
43		elpm2r 6725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) /\ ( G : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> G e. ( CC ^pm S ) )
44	41, 42, 25, 7, 43	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm S ) )
45		reldvg 14915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ G e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D G ) )
46	5, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Rel ( S _D G ) )
47		dvadd.bg	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
48		releldm 4901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
50		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t X ) = ( J ↾t X )
51	50, 3	dvcnp2cntop 14935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ G : X --> CC /\ X C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) )
52	5, 25, 7, 49, 51	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) )
53	3, 50	cnplimccntop 14906	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ C e. X ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
54	11, 23, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
55	52, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
56	55	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
57	25, 11	limcdifap 14898	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G lim CC C ) = ( ( G |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) )
58		ssrab2 3268	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
59	58	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ X )
60	25, 59	feqresmpt 5615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
61	60	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
62	57, 61	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
63	56, 62	eleqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
64	3	mulcncntop 14800	. . . . . 6 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
65	5, 6, 7	dvcl 14919	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
66	1, 65	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. CC )
67	25, 23	ffvelcdmd 5698	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
68	66, 67	opelxpd 4696	. . . . . 6 |- ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 14253	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
70	69	cncnpi 14464	. . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
72	24, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71	limccnp2cntop 14913	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) lim CC C ) )
73		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
74	2, 3, 73, 5, 25, 7	eldvap 14918	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
75	47, 74	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
76	75	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
77		cncfmptc 14832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) e. CC /\ X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
78	32, 11, 35, 77	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
79		eqidd 2197	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
80	78, 23, 79	cnmptlimc 14910	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
81	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
82	81	fmpttd 5717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) : X --> CC )
83	82, 11	limcdifap 14898	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) )
84		resmpt 4994	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. X | w # C } C_ X -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) )
85	58, 84	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) )
86	85	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
87	83, 86	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
88	80, 87	eleqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
89	5, 25, 7	dvcl 14919	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
90	47, 89	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. CC )
91	90, 32	opelxpd 4696	. . . . . 6 |- ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
92	69	cncnpi 14464	. . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
93	64, 91, 92	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
94	31, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93	limccnp2cntop 14913	. . . 4 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) lim CC C ) )
95	3	addcncntop 14798	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
96	66, 67	mulcld 8047	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
97	90, 32	mulcld 8047	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
98	96, 97	opelxpd 4696	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
99	69	cncnpi 14464	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
100	95, 98, 99	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
101	30, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100	limccnp2cntop 14913	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
102	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
103	102, 28	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
104	103, 33	subcld 8337	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
105	104, 29	mulcld 8047	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
106	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
107	29, 106	subcld 8337	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
108	107, 33	mulcld 8047	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
109	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X C_ CC )
110	109, 28	sseldd 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
111	11, 23	sseldd 3184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
112	111	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
113	110, 112	subcld 8337	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
114		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
115	114	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
116	115	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
117	116	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
118	110, 112, 117	subap0d 8671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
119	105, 108, 113, 118	divdirapd 8856	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
120	103, 29	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
121	33, 29	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
122	33, 106	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
123	120, 121, 122	npncand 8361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
124	103, 33, 29	subdird 8441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
125	107, 33	mulcomd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
126	33, 29, 106	subdid 8440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
127	125, 126	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
128	124, 127	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
129	28, 28	elind 3348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. ( X i^i X ) )
130	6	ffnd 5408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
132	25	ffnd 5408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
134		ssexg 4172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
135	11, 40, 134	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
137		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = ( X i^i X )
138		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
139		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
140	120	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
141	131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140	ofvalg 6145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
142	129, 141	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
143	23, 23	elind 3348	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( X i^i X ) )
144		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
145		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
146	122	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
147	131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146	ofvalg 6145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
148	143, 147	mpidan 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
149	142, 148	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
150	123, 128, 149	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
151	150	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
152	104, 29, 113, 118	div23apd 8855	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
153	107, 33, 113, 118	div23apd 8855	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
154	152, 153	oveq12d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
155	119, 151, 154	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
156	155	mpteq2dva 4123	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
157	156	oveq1d 5937	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
158	101, 157	eleqtrrd 2276	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159		eqid 2196	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
160		mulcl 8006	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
161	160	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
162		inidm 3372	. . . 4 |- ( X i^i X ) = X
163	161, 6, 25, 135, 135, 162	off 6148	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) : X --> CC )
164	2, 3, 159, 5, 163, 7	eldvap 14918	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
165	10, 158, 164	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   <.cop 3625   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661   dom cdm 4663   |` cres 4665   o. ccom 4667   Rel wrel 4668   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   oFcof 6133   ^pm cpm 6708   CCcc 7877   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   abscabs 11162   ↾_t crest 12910   MetOpencmopn 14097   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   intcnt 14329   Cn ccn 14421   CnP ccnp 14422   tX ctx 14488   -cn->ccncf 14806   lim CC climc 14890   _D cdv 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  dvmulxx  14940  dvimulf  14942  dvef  14963