Theorem dvmulxxbr 13306

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 13308. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmulxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Proof of Theorem dvmulxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
2		eqid 2165	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2165	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 13291	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 111	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11	7, 5	sstrd 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
12	3	cntoptopon 13172	. . . . . . . . . 10 |- J e. (TopOn ` CC )
13		resttopon 12811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
14	12, 5, 13	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15		topontop 12652	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
17		toponuni 12653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	7, 18	sseqtrd 3180	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
20		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
21	20	ntrss2 12761	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
22	16, 19, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	22, 10	sseldd 3143	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
24	6, 11, 23	dvlemap 13289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
25		dvaddxx.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : X --> CC )
26	25	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
27		elrabi 2879	. . . . . . 7 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
28	27	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
29	26, 28	ffvelrnd 5621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
30	24, 29	mulcld 7919	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
31	25, 11, 23	dvlemap 13289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32	6, 23	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
33	32	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
34	31, 33	mulcld 7919	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
35		ssidd 3163	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
36		txtopon 12902	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	12, 12, 36	mp2an 423	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 12659	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	9	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
40		cnex 7877	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
42	41, 5	ssexd 4122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. _V )
43		elpm2r 6632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) /\ ( G : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> G e. ( CC ^pm S ) )
44	41, 42, 25, 7, 43	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( CC ^pm S ) )
45		reldvg 13288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ G e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D G ) )
46	5, 44, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Rel ( S _D G ) )
47		dvadd.bg	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
48		releldm 4839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
50		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t X ) = ( J ↾t X )
51	50, 3	dvcnp2cntop 13303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ G : X --> CC /\ X C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) )
52	5, 25, 7, 49, 51	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) )
53	3, 50	cnplimccntop 13279	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ C e. X ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
54	11, 23, 53	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t X ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
55	52, 54	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : X --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
56	55	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
57	25, 11	limcdifap 13271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G lim CC C ) = ( ( G |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) )
58		ssrab2 3227	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
59	58	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ X )
60	25, 59	feqresmpt 5540	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) )
61	60	oveq1d 5857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
62	57, 61	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
63	56, 62	eleqtrd 2245	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
64	3	mulcncntop 13194	. . . . . 6 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
65	5, 6, 7	dvcl 13292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
66	1, 65	mpdan 418	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. CC )
67	25, 23	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
68	66, 67	opelxpd 4637	. . . . . 6 |- ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 12655	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
70	69	cncnpi 12868	. . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
72	24, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71	limccnp2cntop 13286	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) lim CC C ) )
73		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
74	2, 3, 73, 5, 25, 7	eldvap 13291	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
75	47, 74	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
76	75	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
77		cncfmptc 13222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) e. CC /\ X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
78	32, 11, 35, 77	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
79		eqidd 2166	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
80	78, 23, 79	cnmptlimc 13283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
81	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
82	81	fmpttd 5640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( F ` C ) ) : X --> CC )
83	82, 11	limcdifap 13271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) )
84		resmpt 4932	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. X | w # C } C_ X -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) )
85	58, 84	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) )
86	85	oveq1d 5857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) |` { w e. X | w # C } ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
87	83, 86	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
88	80, 87	eleqtrd 2245	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
89	5, 25, 7	dvcl 13292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
90	47, 89	mpdan 418	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. CC )
91	90, 32	opelxpd 4637	. . . . . 6 |- ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
92	69	cncnpi 12868	. . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
93	64, 91, 92	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
94	31, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93	limccnp2cntop 13286	. . . 4 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) lim CC C ) )
95	3	addcncntop 13192	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
96	66, 67	mulcld 7919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
97	90, 32	mulcld 7919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
98	96, 97	opelxpd 4637	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
99	69	cncnpi 12868	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
100	95, 98, 99	sylancr 411	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
101	30, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100	limccnp2cntop 13286	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
102	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
103	102, 28	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
104	103, 33	subcld 8209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
105	104, 29	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
106	67	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
107	29, 106	subcld 8209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
108	107, 33	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
109	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X C_ CC )
110	109, 28	sseldd 3143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
111	11, 23	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
112	111	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
113	110, 112	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
114		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
115	114	elrab 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
116	115	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
117	116	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
118	110, 112, 117	subap0d 8542	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
119	105, 108, 113, 118	divdirapd 8725	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
120	103, 29	mulcld 7919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
121	33, 29	mulcld 7919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
122	33, 106	mulcld 7919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
123	120, 121, 122	npncand 8233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
124	103, 33, 29	subdird 8313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
125	107, 33	mulcomd 7920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
126	33, 29, 106	subdid 8312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
127	125, 126	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
128	124, 127	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
129	28, 28	elind 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. ( X i^i X ) )
130	6	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
131	130	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
132	25	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
133	132	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
134		ssexg 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
135	11, 40, 134	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
136	135	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
137		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = ( X i^i X )
138		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
139		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
140	120	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
141	131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140	ofvalg 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
142	129, 141	mpdan 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
143	23, 23	elind 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( X i^i X ) )
144		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
145		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
146	122	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
147	131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146	ofvalg 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. ( X i^i X ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
148	143, 147	mpidan 420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
149	142, 148	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
150	123, 128, 149	3eqtr4d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
151	150	oveq1d 5857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
152	104, 29, 113, 118	div23apd 8724	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
153	107, 33, 113, 118	div23apd 8724	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
154	152, 153	oveq12d 5860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
155	119, 151, 154	3eqtr3d 2206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
156	155	mpteq2dva 4072	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
157	156	oveq1d 5857	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
158	101, 157	eleqtrrd 2246	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159		eqid 2165	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
160		mulcl 7880	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
161	160	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
162		inidm 3331	. . . 4 |- ( X i^i X ) = X
163	161, 6, 25, 135, 135, 162	off 6062	. . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) : X --> CC )
164	2, 3, 159, 5, 163, 7	eldvap 13291	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
165	10, 158, 164	mpbir2and 934	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   <.cop 3579   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   dom cdm 4604   |` cres 4606   o. ccom 4608   Rel wrel 4609   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   oFcof 6048   ^pm cpm 6615   CCcc 7751   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   abscabs 10939   ↾_t crest 12556   MetOpencmopn 12625   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   intcnt 12733   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892   -cn->ccncf 13197   lim CC climc 13263   _D cdv 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  dvmulxx  13308  dvimulf  13310  dvef  13328