Theorem elind 3414

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elind.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		elind.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elin 3412	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  fnfvimad  5957  elfir  7312  infpwfidom  7556  hashfibclem  11304  ballotfilem2  13286  nninfdclemcl  13397  nninfdclemp1  13399  strslfv2d  13453  bassetsnn  13467  insubm  13851  2idl0  14958  2idl1  14959  aspval  15124  asplss  15125  aspsubrg  15127  baspartn  15276  bastg  15287  isopn3  15351  restbasg  15394  lmss  15472  metrest  15732  tgioo  15780  dvmulxxbr  15928  elply2  15961  pilem3  16010  ppiqsval  16240  ppiqsval2  16241  ppinprm  16260  chtnprm  16262  2sqlem7  16445