Theorem elind 3414

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elind.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		elind.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elin 3412	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  fnfvimad  5957  elfir  7312  infpwfidom  7556  hashfibclem  11303  ballotfilem2  13285  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  strslfv2d  13452  bassetsnn  13466  insubm  13850  2idl0  14957  2idl1  14958  aspval  15123  asplss  15124  aspsubrg  15126  baspartn  15293  bastg  15304  isopn3  15368  restbasg  15411  lmss  15489  metrest  15749  tgioo  15797  dvmulxxbr  15945  elply2  15978  pilem3  16027  ppiqsval  16257  ppiqsval2  16258  ppinprm  16277  chtnprm  16279  2sqlem7  16462