Theorem elind 3357

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elind.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		elind.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elin 3355	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   ∩ cin 3164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-in 3171

This theorem is referenced by:  elfir  7074  infpwfidom  7305  nninfdclemcl  12761  nninfdclemp1  12763  strslfv2d  12817  insubm  13259  2idl0  14216  2idl1  14217  baspartn  14464  bastg  14475  isopn3  14539  restbasg  14582  lmss  14660  metrest  14920  tgioo  14968  dvmulxxbr  15116  elply2  15149  pilem3  15197  2sqlem7  15540