Theorem elind 3404

Description: Deduce membership in an intersection of two classes. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
elind.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
elind.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem elind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elind.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		elind.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elin 3402	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   ∩ cin 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217

This theorem is referenced by:  fnfvimad  5922  elfir  7260  infpwfidom  7501  hashfibclem  11206  ballotfilem2  13142  nninfdclemcl  13199  nninfdclemp1  13201  strslfv2d  13255  bassetsnn  13269  insubm  13698  2idl0  14660  2idl1  14661  baspartn  14915  bastg  14926  isopn3  14990  restbasg  15033  lmss  15111  metrest  15371  tgioo  15419  dvmulxxbr  15567  elply2  15600  pilem3  15648  2sqlem7  15994