Theorem insubm 13060

Description: The intersection of two submonoids is a submonoid. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
insubm	|- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem insubm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13046	. . 3 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		ssinss1 3389	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( Base ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
4	3	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
5		elin 3343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( 0g ` M ) e. A /\ ( 0g ` M ) e. B ) )
6	5	simplbi2com 1455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g ` M ) e. B -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
7	6	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
8	7	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) e. A -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
9	8	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
12		elin 3343	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
13		elin 3343	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	anbi12i 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
15		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) b ) )
16	15	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. A ) )
17		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( x ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
18	17	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
19		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. A )
21		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> A = A )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. A )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. A )
24	16, 18, 20, 21, 23	rspc2vd 3150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
25	24	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
26	25	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
27	26	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A )
29	15	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. B ) )
30	17	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. B )
33		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> B = B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. B )
36	29, 30, 32, 33, 35	rspc2vd 3150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
38	37	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
41	40	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
42	28, 41	elind 3345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
44	14, 43	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
45	44	ralrimivv 2575	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
46	4, 11, 45	3jca 1179	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
48		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
49		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
50		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
51	48, 49, 50	issubm 13047	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) <-> ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) ) )
52	48, 49, 50	issubm 13047	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) )
53	51, 52	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) <-> ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) )
54	48, 49, 50	issubm 13047	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
55	47, 53, 54	3imtr4d 203	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
56	55	expd 258	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
58	57	imp 124	1 |- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   i^i cin 3153   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000  SubMndcsubmnd 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-submnd 13035

This theorem is referenced by: (None)