Theorem insubm 13715

Description: The intersection of two submonoids is a submonoid. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
insubm	|- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem insubm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13701	. . 3 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		ssinss1 3452	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( Base ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
3	2	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
4	3	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
5		elin 3404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( 0g ` M ) e. A /\ ( 0g ` M ) e. B ) )
6	5	simplbi2com 1490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g ` M ) e. B -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
7	6	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
8	7	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) e. A -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
9	8	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
12		elin 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
13		elin 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	anbi12i 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
15		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) b ) )
16	15	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. A ) )
17		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( x ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
18	17	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
19		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. A )
21		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> A = A )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. A )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. A )
24	16, 18, 20, 21, 23	rspc2vd 3209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
25	24	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
26	25	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
27	26	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A )
29	15	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. B ) )
30	17	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. B )
33		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> B = B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. B )
36	29, 30, 32, 33, 35	rspc2vd 3209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
38	37	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
41	40	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
42	28, 41	elind 3406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
44	14, 43	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
45	44	ralrimivv 2625	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
46	4, 11, 45	3jca 1204	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
48		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
49		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
50		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
51	48, 49, 50	issubm 13702	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) <-> ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) ) )
52	48, 49, 50	issubm 13702	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) )
53	51, 52	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) <-> ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) )
54	48, 49, 50	issubm 13702	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
55	47, 53, 54	3imtr4d 203	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
56	55	expd 258	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
58	57	imp 124	1 |- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   A.wral 2522   i^i cin 3212   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Mndcmnd 13646  SubMndcsubmnd 13688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-submnd 13690

This theorem is referenced by: (None)