Theorem insubm 13769

Description: The intersection of two submonoids is a submonoid. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
insubm	|- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem insubm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13755	. . 3 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		ssinss1 3460	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( Base ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
3	2	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
4	3	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) )
5		elin 3412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( 0g ` M ) e. A /\ ( 0g ` M ) e. B ) )
6	5	simplbi2com 1494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g ` M ) e. B -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
7	6	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
8	7	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) e. A -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
9	8	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) )
12		elin 3412	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
13		elin 3412	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	anbi12i 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
15		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) b ) )
16	15	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. A ) )
17		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( x ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
18	17	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
19		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. A )
21		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> A = A )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. A )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. A )
24	16, 18, 20, 21, 23	rspc2vd 3216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
25	24	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
26	25	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
27	26	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A )
29	15	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. B ) )
30	17	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. B )
33		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> B = B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. B )
36	29, 30, 32, 33, 35	rspc2vd 3216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
38	37	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) )
41	40	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
42	28, 41	elind 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
44	14, 43	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
45	44	ralrimivv 2631	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) )
46	4, 11, 45	3jca 1208	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
48		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
49		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
50		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
51	48, 49, 50	issubm 13756	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) <-> ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) ) )
52	48, 49, 50	issubm 13756	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( B e. (SubMnd ` M ) <-> ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) )
53	51, 52	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) <-> ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) )
54	48, 49, 50	issubm 13756	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) )
55	47, 53, 54	3imtr4d 203	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
56	55	expd 258	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` M ) -> ( B e. (SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) ) )
58	57	imp 124	1 |- ( ( A e. (SubMnd ` M ) /\ B e. (SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   A.wral 2528   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  SubMndcsubmnd 13742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-submnd 13744

This theorem is referenced by: (None)